数学 - 微分方程数值解 - 第 3 章 椭圆型方程的差分解法 - 3.1 Dirichlet 边值问题

3.1 Dirichlet 边值问题

考虑二维 \(\text{Poisson}\) 方程 \(\text{Dirichlet}\) 边值问题

\[- \Delta u = f(x,y), \quad (x,y) \in \Omega \tag{3.1.1} \]

\[u = \varphi(x,y), \quad (x,y) \in \Gamma = \partial \Omega \tag{3.1.2} \]

对上式，做进一步解释（为简单起见，先考虑矩形区域）。

\[\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}, \quad \Omega = \left\{ (x,y) \, | \, a < x < b, \, c < y < d \right\} \]

3.1.1 解的先验估计式

定理 3.1.1

设 \(v(x,y) \in C^2(\Omega) \bigcap C( \overline{\Omega} )\)，且满足

\[- \Delta v = g(x,y), \quad (x,y) \in \Omega \]

\[v = \varphi(x, y), \quad (x,y) \in \partial \Omega \]

则有

\[\max_{\overline{\Omega}} |v(x,y)| \leqslant \max_{\partial \Omega} |\varphi(x,y)| + L \sup_{\Omega} |g(x,y)| \]

其中，常数 \(L\) 为

\[L = \frac{1}{4} \left[ \left(\frac{b-a}{2} \right)^2 + \left( \frac{d - c}{2} \right)^2\right] \]

证明：证明思路，引入辅助函数，应用极值原理。

记 \(G = \sup_{\Omega} g(x,y)\)，引入辅助函数 \(w(x,y)\) 满足

\[- \Delta w = G, \quad (x,y) \in \Omega \]

\[w \geqslant 0, \quad (x,y) \in \partial \Omega \]

则有

\[- \Delta( \pm v - w) = \pm g(x,y) - G \leqslant 0, \quad (x,y) \in \Omega \]

应用极值原理，可得

\[\max_{(x, y) \in \overline{\Omega}} (\pm v - w) = \max_{(x,y) \in \Gamma} (\pm v - w) \leqslant \max_{(x,y) \in \Gamma} (\pm v) = \max_{(x,y) \in \Gamma} |v| \]

因此

\[\max_{\overline{\Omega}} |v| \leqslant \max_{\overline{\Omega}} (\pm v - w) + \max_{\overline{\Omega}} w \leqslant \max_{(x, y) \in \Gamma} |v| + \max_{\overline{\Omega}} w \]

现在问题转换为说明辅助函数 \(w(x,y)\) 的存在性。

构造

\[P(x,y) = \left( \frac{b-a}{2} \right)^2 + \left( \frac{d-c}{2} \right)^2 - \left( x - \frac{b+a}{2} \right)^2 - \left( y - \frac{d+c}{2} \right)^2 \]

令

\[w(x,y) = \frac{1}{4} G \cdot P(x,y) \]