数学 - 微分方程数值解 - 第 1 章 一阶常微分方程初值问题 - 1.1 一阶常微分方程初值问题形式

1.1 一阶常微分方程初值问题形式

考虑一阶常微分方程初值问题：

$$\left\{ \begin{align*} & \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} y} = f(x, y(x)) \quad a \leqslant x \leqslant b\\ & y(a) = y_0 \end{align*} \right. \tag{1.1.1}$$

假设上述方程的解的存在且唯一，进一步假设函数 $f(x,y)$ 连续，且关于 $y$ 满足 Lipschitz 条件。所谓求数值解就是求 $y(x)$ 在一些离散点上的近似值。

即对于给定节点：

$$a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b$$

求上述问题的解 $y(x)$ 在节点 $x_i$ 处的近似值 $y_i$。通常取两相邻节点之间距离相同，即相同步长：

$$x_{i+1} - x_i = h, \quad i=0,1,\cdots$$

求解常微分方程数值解的基本思路是步进法：后边节点值 = 前边节点值 + “斜率” ✖ 步长，一般数学形式为：

$$y_{n+1} = y_{n} + \varphi_n h \tag{1.1.2}$$