数学 - 微分方程数值解 - 第 1 章 一阶常微分方程初值问题 - 1.5 相容性、收敛性与稳定性

1.5 相容性、收敛性与稳定性

1.5.1 相容性与收敛性

定义相容性。（非数学性质严格）

定义 1.5.1 相容性

当步长 $h \to 0$ 时，差分方程是否无限逼近微分方程。

定义收敛性。（非数学性质严格）

定义 1.5.2 收敛性

对 $\forall x \in \Omega$，当步长 $h \to 0$ 时，差分方程的解是否无限逼近微分方程的解。

(1) 显式单步法的相容性

对于一个微分方程数值解，考虑原问题

$$\left\{ \begin{align*} & y' = f(x,y) \\ & y(x_0) = y_0 \end{align*} \tag{1.5.1} \right.$$

再考虑单步法离散过程

$$\left\{ \begin{align*} & y_{n+1} = y_{n} + h \varphi(x_n, y_n, h) \\ & y(x_0) = y_0 \end{align*} \tag{1.5.2} \right.$$

根据相容性定义，上述问题的相容性是指，如果增量函数 $\varphi(x, y, h)$ 对任意 $x$ 和 $y$ 都关于 $h$ 连续且满足条件：

$$\varphi(x_n, y_n, 0) = \lim_{h \to 0} \varphi(x_n, y_n, h) = f(x,y)$$

则称差分方程 $(1.5.2)$ 与原方程 $(1.5.1)$ 相容。

定理 1.5.1

对显式单步法，若 $\varphi(x,y,h)$ 足够光滑（连续，且对 $h$ 偏导数存在且有界），则单步法为 $p$ 阶（$p \geqslant 1$）的必要条件是差分方程 $(1.5.2)$ 与原方程 $(1.5.1)$ 相容。

证明： 若 $y_{n+1} = y_n + h \varphi(x_n, y_n, h)$ 为 $p$ 阶方法。

则有

$$y(x_{n+1}) - y(x_{n}) - h \varphi(x_n, y(x_{n}), h) = O(h^{p+1})$$

也即下式

$$y(x + h) - y(x) - h \varphi(x, y(x), h) = O(h^{p+1})$$

由此可得

$$\frac{y(x_{n+1}) - y(x_{n})}{h} = \varphi(x_n, y(x_{n}), h) + O(h^{p})$$

两边取极限即可得

$$\varphi(x_n, y(x_{n}), 0) = \lim_{h \to 0} \varphi(x_n, y(x_{n}), h) = y'(x)$$

根据相容性定义，上述问题的相容性是指，如果增量函数 $\varphi(x, y, h)$ 对任意 $x$ 和 $y$ 都关于 $h$ 连续且满足条件：

$$\varphi(x_n, y_n, 0) = \lim_{h \to 0} \varphi(x_n, y_n, h) = f(x,y)$$

则称差分方程 $(1.5.2)$ 与原方程 $(1.5.1)$ 相容。

(2) 显式单步法的收敛性

根据收敛性定义，上述问题的收敛性是指，如果某种数值方法对任意 $x \in (a, b]$ 有

$$\lim_{h \to 0} y_n = y(x) \quad (x=a+nh)$$

则称差分方程 $(1.5.2)$ 与原方程 $(1.5.1)$ 收敛。

定理 1.5.2

设显式单步法具有 $p$ 阶精度，其增量函数 $\varphi(x, y, h)$ 关于 $y$ 满足 Lipschitz 条件，问题 $(1.5.1)$ 的初值是精确的，即 $y(x_0) = y_0$，则显式单步法的整体截断误差为：

$$e_{n+1} = y(x_{n+1}) - y_{n+1} = O(h^p)$$

定理 1.5.3

设显式单步法具有 $p$ 阶（$p \geqslant 1$）精度，给定一个区域 $S$

$$S:a \leqslant x \leqslant b, \quad -\infty < y < \infty, \quad 0 \leqslant h \leqslant h_0$$

增量函数 $\varphi(x,y,h)$ 在区域 $S$ 内连续，且关于 $y$ 满足 Lipschitz 条件，则显式单步法是收敛的。

特别地，当 $f(x,y)$ 在区域 $D:a \leqslant x \leqslant b, -\infty < y < \infty$ 上连续，且关于 $y$ 满足 Lipschitz 条件，则 Euler 法，改进 Euler 法和各阶 RK 方法的增量函数 $\varphi(x,y,h)$ 在区域 $S$ 内连续，且关于 $y$ 满足 Lipschitz 条件，因而它们都是收敛的。

关于显式单步法收敛有一个更一般的结论。

定理 1.5.4

给定一个区域 $S$

$$S:a \leqslant x \leqslant b, \quad -\infty < y < \infty, \quad 0 \leqslant h \leqslant h_0$$

设增量函数 $\varphi(x,y,h)$ 在区域 $S$ 上连续，且关于 $y$ 满足 Lipschitz条件，则显式单步法收敛的充分必要条件是相容性条件成立。

1.5.2 稳定性

在收敛性讨论中，我们都是在每步计算都是准确的前提下，估计由近似公式所产生的误差，没有考虑舍入误差。实际计算中，除了由数值方法所产生的截断误差外，还有因数字舍入而产生的舍入误差。一种数值方法，即使它满足相容性条件和收敛性条件，但若在计算过程中，舍入误差的积累越来越大，那么它的解 $y_n$ 作为原问题的近似解也可能严重失真，影响舍入误差的因素有很多，这里我们只关心它在传播过程中的增长情况，这即使数值方法的稳定性问题。

稳定性问题比较复杂，其定义也非常依赖微分方程本身。

定义 1.5.3 绝对稳定

用某种数值方法求解初值问题，当步长 $h$ 固定时，在节点值 $y_n$ 上产生误差（扰动）$\delta_n$，而由此引起后面节点值 $y_m$（$m>n$）的误差 $| \delta_m |$ 不超过 $|\delta|$，则称此方法是绝对稳定的。

实际讨论中，以下述模型方程进行。

$$y' = \lambda y \tag{1.5.3}$$

当步长