数学 - 微分方程数值解 - 第 1 章一阶常微分方程初值问题 - 1.4 线性多步公式 - Black_x

数学 - 微分方程数值解 - 第 1 章一阶常微分方程初值问题 - 1.4 线性多步公式

1.4 线性多步法

单步法的一般形式为 $y_{n+1} = y_{n} + h \varphi(x_n, y_n, x_{n+1}, y_{n+1}, h)$ ，显式单步法为 $y_{n+1} = y_{n} + h \varphi(x_n, y_n, h)$ ，其中 $\varphi$ 称为增量函数。

线性多步法一般形式：

\begin{matrix} (1.4.1) & y_{n + 1} = \sum_{i = 0}^{r} α_{i} y_{n - i} + h \sum_{i = - 1}^{r} β_{i} f_{n - i} \end{matrix}

$y_{n+1} = \sum_{i=0}^r \alpha_i y_{n-i} + h \sum_{i=-1}^r \beta_i f_{n-i} \tag{1.4.1}$

其中 $f_{n-i} = f(x_{n-i}, y_{n-i})$ ， $\alpha_i$ 和 $\beta_i$ 为待定系数。

显然，当 $\beta_{-1} = 0$ 是公式为显式格式， $\beta_{-1} \neq 0$ 是公式为隐式格式。

例如，显式线性三步法的形式为

y_{n + 1} = \sum_{i = 0}^{2} α_{i} y_{n - i} + h \sum_{i = 0}^{2} β_{i} f_{n - i}

$y_{n+1} = \sum_{i=0}^2 \alpha_i y_{n-i} + h \sum_{i=0}^2 \beta_i f_{n-i}$

几何意义：

1.4.1 线性多部公式导出

对线性多步法的一般形式 $(1.4.1)$ 做 Taylor 展开求解局部截断误差。

考虑 $y_{n+1}$

y_{n + 1} = \sum_{i = 0}^{r} α_{i} y_{n - i} + h \sum_{i = - 1}^{r} β_{i} f_{n - i}

$y_{n+1} = \sum_{i=0}^r \alpha_i y_{n-i} + h \sum_{i=-1}^r \beta_i f_{n-i}$

展开 $y_{n+1}$ 之前，要估计 $y_{n-i}$ 和 $f_{n-i}$ 。

\begin{aligned} y_{n - i} & = y (x_{n} - i h) = y_{n} + h (- i) y_{n}^{'} + \frac{h^{2}}{2} (- i)^{2} y_{n}^{″} + \dots + \frac{h^{p}}{p!} (- i)^{p} y_{n}^{(p)} + O (h^{p + 1}) \\ f_{n - i} & = y^{'} (x_{n - i}) = y_{n}^{'} + h (- i) y_{n}^{″} + \frac{h^{2}}{2} (- i)^{2} y_{n}^{‴} + \dots + \frac{h^{p - 1}}{(p - 1)!} (- i)^{p - 1} y_{n}^{(p)} + O (h^{p}) \\ f_{n + 1} & = f (x_{n + 1}, y (x_{n + 1})) = y^{'} (x_{n + 1}) = y_{n}^{'} + h y_{n}^{″} + \frac{h^{2}}{2} y_{n}^{‴} + \dots + \frac{h^{p - 1}}{(p - 1)!} y_{n}^{(p)} + O (h^{p}) \end{aligned}

$\begin{align*} y_{n-i} & = y(x_n - ih) = y_n + h (-i) y'_n + \frac{h^2}{2} (-i)^2 y''_n + \cdots + \frac{h^p}{p \, !} (-i)^p y^{(p)}_n + O(h^{p+1}) \\ f_{n-i} & = y'(x_{n-i}) = y_n' + h (-i) y''_n + \frac{h^2}{2} (-i)^2 y'''_n + \cdots + \frac{h^{p - 1}}{(p - 1) \, !} (-i)^{p-1} y^{(p)}_n + O(h^p) \\ f_{n+1} & = f(x_{n+1}, y(x_{n+1})) = y'(x_{n+1}) = y_n' + h y''_n + \frac{h^2}{2} y'''_n + \cdots + \frac{h^{p - 1}}{(p - 1) \, !} y^{(p)}_n + O(h^p) \end{align*}$

因此得到 $y_{n+1}$ ，

y_{n + 1} = [\sum_{i = 0}^{r} α_{i}] y_{n} + h [\sum_{i = 1}^{r} (- i) α_{i} + \sum_{i = - 1}^{r} β_{i}] y_{n}^{'} + \frac{h^{2}}{2} [\sum_{i = 1}^{r} (- i)^{2} α_{i} + 2 \sum_{i = - 1}^{r} (- i) β_{i}] y_{n}^{″} + \dots + \frac{h^{p}}{p!} [\sum_{i = 1}^{r} (- i)^{p} α_{i} + p \sum_{i = - 1}^{r} (- i)^{p - 1} β_{i}] y_{n}^{(p)} + O (h^{p + 1})

$y_{n+1} = \left[ \sum_{i=0}^r \alpha_i \right] y_n + h \left[ \sum_{i=1}^r (-i) \alpha_i + \sum_{i=-1}^r \beta_i \right] y'_n + \frac{h^2}{2} \left[ \sum_{i=1}^r (-i)^2 \alpha_i + 2\sum_{i=-1}^r (-i) \beta_i \right] y''_n + \cdots + \frac{h^p}{p \, !} \left[ \sum_{i=1}^r (-i)^p \alpha_i + p \sum_{i=-1}^r (-i)^{p-1} \beta_i \right] y^{(p)}_n + O(h^{p+1})$

再考虑 $y(x_{n+1})$

y (x_{n + 1}) = y_{n} + h y_{n}^{'} + \frac{h^{2}}{2!} y_{n}^{″} + \dots + \frac{h^{p}}{p!} y_{n}^{(p)} + O (h^{p + 1})

$y(x_{n+1}) = y_n + h y'_n + \frac{h^2}{2 \, !} y''_n + \cdots + \frac{h^p}{p \, !} y^{(p)}_n + O(h^{p+1})$

要求局部截断误差最小，需待定参数满足：

{\begin{aligned} \sum_{i = 0}^{r} α_{i} = 1 \\ \sum_{i = 1}^{r} (- 1)^{k} α_{i} + k \sum_{i = - 1}^{r} (- i)^{k - 1} β_{i} = 1, k = 1, \dots, p \end{aligned}

$\left\{ \begin{align*} & \sum_{i=0}^r \alpha_i = 1 \\ & \sum_{i=1}^r (-1)^k \alpha_i + k \sum_{i=-1}^r (-i)^{k-1} \beta_i = 1, \quad k = 1,\cdots,p \end{align*} \right.$

$p$ 阶公式的局部截断误差为

R_{n + 1} = \frac{h^{p + 1}}{(p + 1)!} [1 - \sum_{i = 1}^{r} (- i)^{p + 1} α_{i} - (p + 1) \sum_{i = - 1}^{r} (- i)^{p} β_{i}] y_{n}^{(p + 1)} + O (h^{p + 2})

$R_{n+1} = \frac{h^{p+1}}{(p+1) \, !} \left[ 1 - \sum_{i=1}^r (-i)^{p+1} \alpha_i - (p+1) \sum_{i=-1}^r (-i)^{p} \beta_i \right] y^{(p+1)}_n + O(h^{p+2})$

1.4.2 常用的线性多步公式

(1) Adams 公式

四阶 $Adams$ 显式公式：

y_{n + 1} = y_{n} + \frac{h}{4} (55 f_{n} - 59 f_{n - 1} + 37 f_{n - 2} - 9 f_{n - 3})

$y_{n+1} = y_n + \frac{h}{4} (55 f_n - 59 f_{n-1} + 37 f_{n-2} - 9 f_{n-3})$

局部截断误差为：

R_{n + 1} = \frac{251}{720} h^{5} y_{n}^{(5)} + O (h^{6})

$R_{n+1} = \frac{251}{720} h^5 y^{(5)}_n + O(h^6)$

四阶 $Adams$ 隐式公式：

y_{n + 1} = y_{n} + \frac{h}{24} (9 f_{n + 1} + 19 f_{n} - 5 f_{n - 1} + f_{n - 2})

$y_{n+1} = y_n + \frac{h}{24} (9 f_{n+1} + 19 f_{n} - 5 f_{n-1} + f_{n-2})$

局部截断误差为：

R_{n + 1} = - \frac{19}{720} h^{5} y_{n}^{(5)} + O (h^{6})

$R_{n+1} = -\frac{19}{720} h^5 y^{(5)}_n + O(h^6)$

(2) Milne 公式

$Milne$ 公式：

y_{n + 1} = y_{n - 3} + \frac{4}{3} h (2 f_{n} - f_{n - 1} + 2 f_{n - 2})

$y_{n+1} = y_{n-3} + \frac{4}{3} h (2 f_n - f_{n-1} + 2 f_{n-2})$

局部截断误差为：

R_{n + 1} = \frac{14}{45} h^{5} y_{n}^{(5)} + O (h^{6})

$R_{n+1} = \frac{14}{45} h^5 y^{(5)}_n + O(h^6)$

(3) Hamming 公式

$Hamming$ 公式：

y_{n + 1} = \frac{1}{8} (9 y_{n} - y_{n - 2}) + \frac{3}{8} h (f_{n + 1} + 2 f_{n} - f_{n - 1})

$y_{n+1} = \frac{1}{8} (9 y_{n} - y_{n-2}) + \frac{3}{8} h (f_{n+1} + 2 f_{n} - f_{n-1})$

局部截断误差为：

R_{n + 1} = - \frac{1}{40} h^{5} y_{n}^{(5)} + O (h^{6})

$R_{n+1} = -\frac{1}{40} h^5 y^{(5)}_n + O(h^6)$

一些说明：

线性多步公式不能自启动，一般需要用同阶的单步法求得初值后再用线性多步公式计算。
一般地，同阶隐式公式比同阶显式公式精确，但隐式公式计算复杂，需要迭代法求解。

1.4.3 预测-校正系统

$Adams$ 预测-校正公式：

{\begin{aligned} {\bar{y}}_{n + 1} = y_{n} + \frac{h}{24} (55 f_{n} - 59 f_{n - 1} + 37 f_{n - 2} - 9 f_{n - 3}) \\ y_{n + 1} = y_{n} + \frac{h}{24} (9 f (x_{n + 1}, {\bar{y}}_{n + 1}) + 19 f_{n} - 5 f_{n - 1} + f_{n - 2}) \end{aligned}

$\left\{ \begin{align*} & \overline{y}_{n+1} = y_n + \frac{h}{24} (55 f_n - 59 f_{n-1} + 37 f_{n-2} - 9 f_{n-3})\\ & y_{n+1} = y_n + \frac{h}{24} (9 f(x_{n+1}, \overline{y}_{n+1}) + 19 f_{n} - 5 f_{n-1} + f_{n-2}) \end{align*} \right.$

$Milne$ - $Hamming$ 预测-校正公式：

{\begin{aligned} {\bar{y}}_{n + 1} = y_{n - 3} + \frac{4}{3} h (2 f_{n} - f_{n - 1} + 2 f_{n - 2}) \\ y_{n + 1} = \frac{1}{8} (9 y_{n} - y_{n - 2}) + \frac{3}{8} h (f (x_{n + 1}, {\bar{y}}_{n + 1}) + 2 f_{n} - f_{n - 1}) \end{aligned}

$\left\{ \begin{align*} & \overline{y}_{n+1} = y_{n-3} + \frac{4}{3} h (2 f_n - f_{n-1} + 2 f_{n-2}) \\ & y_{n+1} = \frac{1}{8} (9 y_{n} - y_{n-2}) + \frac{3}{8} h (f(x_{n+1}, \overline{y}_{n+1}) + 2 f_{n} - f_{n-1}) \end{align*} \right.$

例 1.4.1

讨论二步公式 $y_{n+1}=y_{n-1} + \frac{h}{3}(f_{n+1} + 4f_{n} + f_{n-1})$ 怎么由数值积分公式导出，并求出它的局部截断误差，判断是几阶公式。

解：将初值问题转化为等价的积分形式

y (x_{n + 1}) - y (x_{n - 1}) = \int_{x_{n - 1}}^{x_{n + 1}} f (x, y) d x

$y(x_{n+1}) - y(x_{n-1}) = \int_{x_{n-1}}^{x_{n+1}} f(x, y) \, \mathrm{d} x$

令 $F(x) = f(x, y(x))$ ，利用 Simpson 公式。

y (x_{n + 1}) - y (x_{n - 1}) \approx \frac{h}{3} (F (x_{n - 1}) + 4 F (x_{n}) + F (x_{n + 1}))

$y(x_{n+1}) - y(x_{n-1}) \approx \frac{h}{3} (F(x_{n-1})+ 4F(x_n) + F(x_{n+1}))$

由此得求解格式：

y_{n + 1} = y_{n - 1} + \frac{h}{3} (f_{n - 1} + 4 f_{n} + f_{n + 1})

$y_{n+1}=y_{n-1} + \frac{h}{3} (f_{n-1} + 4f_{n} + f_{n+1})$

其中 $f_k = f(x_k, y_k)$ ， $k=n-1,n,n+1$

然后计算局部截断误差。

先考虑 $y_{n+1}$ ，有迭代格式可知需先估计 $y_{n-1}$ 、 $f_{n-1}$ 、 $f_n$ 和 $f_{n+1}$ 。

\begin{aligned} y_{n - 1} & = y (x_{n} - h) = y_{n} - h y_{n}^{'} + \frac{h^{2}}{2} y_{n}^{″} - \frac{h^{3}}{3!} y_{n}^{‴} + \frac{h^{4}}{4!} y_{n}^{(4)} - \frac{h^{5}}{5!} y_{n}^{(5)} + O (h^{6}) \\ f_{n - 1} & = f (x_{n - 1}, y (x_{n - 1})) = y^{'} (x_{n - 1}) = y^{'} (x_{n} - h) = y_{n}^{'} - h y_{n}^{″} + \frac{h^{2}}{2} y_{n}^{‴} - \frac{h^{3}}{3!} y_{n}^{(4)} + \frac{h^{4}}{4!} y_{n}^{(5)} + O (h^{5}) \\ f_{n + 1} & = f (x_{n + 1}, y (x_{n + 1})) = y^{'} (x_{n + 1}) = y^{'} (x_{n} + h) = y_{n}^{'} + h y_{n}^{″} + \frac{h^{2}}{2} y_{n}^{‴} + \frac{h^{3}}{3!} y_{n}^{(4)} + \frac{h^{4}}{4!} y_{n}^{(5)} + O (h^{5}) \end{aligned}

$\begin{align*} y_{n-1} & = y(x_n - h) = y_n - hy_n' + \frac{h^2}{2} y''_n - \frac{h^3}{3 \, !} y'''_n + \frac{h^4}{4 \, !} y^{(4)}_n - \frac{h^5}{5 \, !} y^{(5)}_n + O(h^6) \\ f_{n-1} & = f(x_{n-1}, y(x_{n-1})) = y'(x_{n-1}) = y'(x_n - h) = y'_n - h y''_n + \frac{h^2}{2} y'''_n - \frac{h^3}{3 \, !} y^{(4)}_n + \frac{h^4}{4 \, !} y^{(5)}_n + O(h^5) \\ f_{n+1} & = f(x_{n+1}, y(x_{n+1})) = y'(x_{n+1}) = y'(x_n + h) = y'_n + h y''_n + \frac{h^2}{2} y'''_n + \frac{h^3}{3 \, !} y^{(4)}_n + \frac{h^4}{4 \, !} y^{(5)}_n + O(h^5) \\ \end{align*}$

可得 $y_{n+1}$ 为

\begin{aligned} y_{n + 1} & = y_{n - 1} + \frac{h}{3} (f_{n + 1} + 4 f_{n} + f_{n - 1}) \\ = y_{n} + h y_{n}^{'} + \frac{h^{2}}{2} y_{n}^{″} + \frac{h^{3}}{3!} y_{n}^{‴} + \frac{h^{4}}{4!} y_{n}^{(4)} + \frac{7 h^{5}}{360} y_{n}^{(5)} + O (h^{6}) \end{aligned}

$\begin{align*} y_{n+1} & = y_{n-1} + \frac{h}{3} (f_{n+1} + 4f_{n} + f_{n-1}) \\ & = y_n + hy_n' + \frac{h^2}{2} y''_n + \frac{h^3}{3 \, !} y'''_n + \frac{h^4}{4 \, !} y^{(4)}_n + \frac{7 h^5}{360} y^{(5)}_n + O(h^6) \end{align*}$

考虑 $y(x_{n+1})$

y (x_{n + 1}) = y (x_{n} + h) = y_{n} + h y_{n}^{'} + \frac{h^{2}}{2!} y_{n}^{″} + \dots + \frac{h^{5}}{5!} y_{n}^{(5)} + O (h^{6})

$y(x_{n+1}) = y(x_n + h) = y_n + h y'_n + \frac{h^2}{2 \, !} y''_n + \cdots + \frac{h^5}{5 \, !} y^{(5)}_n + O(h^{6})$

可得局部截断误差为

R_{n + 1} = y (x_{n + 1}) - y_{n + 1} = (\frac{1}{5!} - \frac{7}{360}) h^{5} y_{n}^{(5)} + O (h^{6}) = - \frac{h^{5}}{90} y_{n}^{(5)} + O (h^{6})

$R_{n+1} = y(x_{n+1}) - y_{n+1} = (\frac{1}{5 \, !} - \frac{7}{360} ) h^5 y_n^{(5)} + O(h^{6}) = -\frac{h^5 }{90} y_n^{(5)} + O(h^{6})$

解毕。

posted on 2022-03-05 16:26 Black_x 阅读(480) 评论(0) 编辑收藏举报

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