1.4 线性多步法
单步法的一般形式为 \(y_{n+1} = y_{n} + h \varphi(x_n, y_n, x_{n+1}, y_{n+1}, h)\)，显式单步法为 \(y_{n+1} = y_{n} + h \varphi(x_n, y_n, h)\)，其中 \(\varphi\) 称为增量函数。
线性多步法一般形式：
\[y_{n+1} = \sum_{i=0}^r \alpha_i y_{n-i} + h \sum_{i=-1}^r \beta_i f_{n-i} \tag{1.4.1}
\]
其中 \(f_{n-i} = f(x_{n-i}, y_{n-i})\)，\(\alpha_i\) 和 \(\beta_i\) 为待定系数。
显然，当 \(\beta_{-1} = 0\) 是公式为显式格式，\(\beta_{-1} \neq 0\) 是公式为隐式格式。
例如，显式线性三步法的形式为
\[y_{n+1} = \sum_{i=0}^2 \alpha_i y_{n-i} + h \sum_{i=0}^2 \beta_i f_{n-i}
\]
几何意义：
1.4.1 线性多部公式导出
对线性多步法的一般形式 \((1.4.1)\) 做 Taylor 展开求解局部截断误差。
考虑 \(y_{n+1}\)
\[y_{n+1} = \sum_{i=0}^r \alpha_i y_{n-i} + h \sum_{i=-1}^r \beta_i f_{n-i}
\]
展开 \(y_{n+1}\) 之前，要估计 \(y_{n-i}\) 和 \(f_{n-i}\)。
\[\begin{align*}
y_{n-i} & = y(x_n - ih) = y_n + h (-i) y'_n + \frac{h^2}{2} (-i)^2 y''_n + \cdots + \frac{h^p}{p \, !} (-i)^p y^{(p)}_n + O(h^{p+1}) \\
f_{n-i} & = y'(x_{n-i}) = y_n' + h (-i) y''_n + \frac{h^2}{2} (-i)^2 y'''_n + \cdots + \frac{h^{p - 1}}{(p - 1) \, !} (-i)^{p-1} y^{(p)}_n + O(h^p) \\
f_{n+1} & = f(x_{n+1}, y(x_{n+1})) = y'(x_{n+1}) = y_n' + h y''_n + \frac{h^2}{2} y'''_n + \cdots + \frac{h^{p - 1}}{(p - 1) \, !} y^{(p)}_n + O(h^p)
\end{align*}
\]
因此得到 \(y_{n+1}\)，
\[y_{n+1} = \left[ \sum_{i=0}^r \alpha_i \right] y_n + h \left[ \sum_{i=1}^r (-i) \alpha_i + \sum_{i=-1}^r \beta_i \right] y'_n + \frac{h^2}{2} \left[ \sum_{i=1}^r (-i)^2 \alpha_i + 2\sum_{i=-1}^r (-i) \beta_i \right] y''_n + \cdots + \frac{h^p}{p \, !} \left[ \sum_{i=1}^r (-i)^p \alpha_i + p \sum_{i=-1}^r (-i)^{p-1} \beta_i \right] y^{(p)}_n + O(h^{p+1})
\]
再考虑 \(y(x_{n+1})\)
\[y(x_{n+1}) = y_n + h y'_n + \frac{h^2}{2 \, !} y''_n + \cdots + \frac{h^p}{p \, !} y^{(p)}_n + O(h^{p+1})
\]
要求局部截断误差最小，需待定参数满足：
\[\left\{
\begin{align*}
& \sum_{i=0}^r \alpha_i = 1 \\
& \sum_{i=1}^r (-1)^k \alpha_i + k \sum_{i=-1}^r (-i)^{k-1} \beta_i = 1, \quad k = 1,\cdots,p
\end{align*}
\right.
\]
\(p\) 阶公式的局部截断误差为
\[R_{n+1} = \frac{h^{p+1}}{(p+1) \, !} \left[ 1 - \sum_{i=1}^r (-i)^{p+1} \alpha_i - (p+1) \sum_{i=-1}^r (-i)^{p} \beta_i \right] y^{(p+1)}_n + O(h^{p+2})
\]
1.4.2 常用的线性多步公式
(1) Adams 公式
四阶 \(Adams\) 显式公式：
\[y_{n+1} = y_n + \frac{h}{4} (55 f_n - 59 f_{n-1} + 37 f_{n-2} - 9 f_{n-3})
\]
局部截断误差为：
\[R_{n+1} = \frac{251}{720} h^5 y^{(5)}_n + O(h^6)
\]
四阶 \(Adams\) 隐式公式：
\[y_{n+1} = y_n + \frac{h}{24} (9 f_{n+1} + 19 f_{n} - 5 f_{n-1} + f_{n-2})
\]
局部截断误差为：
\[R_{n+1} = -\frac{19}{720} h^5 y^{(5)}_n + O(h^6)
\]
(2) Milne 公式
\(Milne\) 公式：
\[y_{n+1} = y_{n-3} + \frac{4}{3} h (2 f_n - f_{n-1} + 2 f_{n-2})
\]
局部截断误差为：
\[R_{n+1} = \frac{14}{45} h^5 y^{(5)}_n + O(h^6)
\]
(3) Hamming 公式
\(Hamming\) 公式：
\[y_{n+1} = \frac{1}{8} (9 y_{n} - y_{n-2}) + \frac{3}{8} h (f_{n+1} + 2 f_{n} - f_{n-1})
\]
局部截断误差为：
\[R_{n+1} = -\frac{1}{40} h^5 y^{(5)}_n + O(h^6)
\]
一些说明：
1.4.3 预测-校正系统
\(Adams\) 预测-校正公式：
\[\left\{
\begin{align*}
& \overline{y}_{n+1} = y_n + \frac{h}{24} (55 f_n - 59 f_{n-1} + 37 f_{n-2} - 9 f_{n-3})\\
& y_{n+1} = y_n + \frac{h}{24} (9 f(x_{n+1}, \overline{y}_{n+1}) + 19 f_{n} - 5 f_{n-1} + f_{n-2})
\end{align*}
\right.
\]
\(Milne\) - \(Hamming\) 预测-校正公式：
\[\left\{
\begin{align*}
& \overline{y}_{n+1} = y_{n-3} + \frac{4}{3} h (2 f_n - f_{n-1} + 2 f_{n-2}) \\
& y_{n+1} = \frac{1}{8} (9 y_{n} - y_{n-2}) + \frac{3}{8} h (f(x_{n+1}, \overline{y}_{n+1}) + 2 f_{n} - f_{n-1})
\end{align*}
\right.
\]
例 1.4.1
讨论二步公式 \(y_{n+1}=y_{n-1} + \frac{h}{3}(f_{n+1} + 4f_{n} + f_{n-1})\) 怎么由数值积分公式导出，并求出它的局部截断误差，判断是几阶公式。
解：将初值问题转化为等价的积分形式
\[y(x_{n+1}) - y(x_{n-1}) = \int_{x_{n-1}}^{x_{n+1}} f(x, y) \, \mathrm{d} x
\]
令 \(F(x) = f(x, y(x))\)，利用 Simpson 公式。
\[y(x_{n+1}) - y(x_{n-1}) \approx \frac{h}{3} (F(x_{n-1})+ 4F(x_n) + F(x_{n+1}))
\]
由此得求解格式：
\[y_{n+1}=y_{n-1} + \frac{h}{3} (f_{n-1} + 4f_{n} + f_{n+1})
\]
其中 \(f_k = f(x_k, y_k)\)，\(k=n-1,n,n+1\)
然后计算局部截断误差。
先考虑 \(y_{n+1}\)，有迭代格式可知需先估计 \(y_{n-1}\)、\(f_{n-1}\)、\(f_n\) 和 \(f_{n+1}\)。
\[\begin{align*}
y_{n-1} & = y(x_n - h) = y_n - hy_n' + \frac{h^2}{2} y''_n - \frac{h^3}{3 \, !} y'''_n + \frac{h^4}{4 \, !} y^{(4)}_n - \frac{h^5}{5 \, !} y^{(5)}_n + O(h^6) \\
f_{n-1} & = f(x_{n-1}, y(x_{n-1})) = y'(x_{n-1}) = y'(x_n - h) = y'_n - h y''_n + \frac{h^2}{2} y'''_n - \frac{h^3}{3 \, !} y^{(4)}_n + \frac{h^4}{4 \, !} y^{(5)}_n + O(h^5) \\
f_{n+1} & = f(x_{n+1}, y(x_{n+1})) = y'(x_{n+1}) = y'(x_n + h) = y'_n + h y''_n + \frac{h^2}{2} y'''_n + \frac{h^3}{3 \, !} y^{(4)}_n + \frac{h^4}{4 \, !} y^{(5)}_n + O(h^5) \\
\end{align*}
\]
可得 \(y_{n+1}\) 为
\[\begin{align*}
y_{n+1}
& = y_{n-1} + \frac{h}{3} (f_{n+1} + 4f_{n} + f_{n-1}) \\
& = y_n + hy_n' + \frac{h^2}{2} y''_n + \frac{h^3}{3 \, !} y'''_n + \frac{h^4}{4 \, !} y^{(4)}_n + \frac{7 h^5}{360} y^{(5)}_n + O(h^6)
\end{align*}
\]
考虑 \(y(x_{n+1})\)
\[y(x_{n+1}) = y(x_n + h) = y_n + h y'_n + \frac{h^2}{2 \, !} y''_n + \cdots + \frac{h^5}{5 \, !} y^{(5)}_n + O(h^{6})
\]
可得局部截断误差为
\[R_{n+1} = y(x_{n+1}) - y_{n+1} = (\frac{1}{5 \, !} - \frac{7}{360} ) h^5 y_n^{(5)} + O(h^{6}) = -\frac{h^5 }{90} y_n^{(5)} + O(h^{6})
\]
解毕。
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