数学 - 数理统计- 第一章 绪论 1.2 统计量

1.2 统计量

1.2.1 统计量定义

统计量，由样本数据算出来的量，把样本中与所要解决的问题有关的信息集中起来。定义如下：

定义 1.2.1 统计量

由样本算出来的量称为统计量。准确地说，统计量是样本的函数。

此外要做两点说明：

• 统计量只与样本有关，不能与未知参数有关。例如，$X \sim N(a,sigma^2)$，$X_1,\cdots,X_n$ 是总体 $X$ 中抽取的简单随机样本（独立同分布）。则 $\sum_{i=1}^n X_i$ 是统计量，但当 $a$ 和 $\sigma$ 为未知参数时，$\sum_{i=1}^n (X_i - a)$ 和 $\sum_{i=1}^n X_i^2 / \sigma^2$ 都不是统计量。

• 样本具有两重性：抽样前视为随机变量（或向量），抽样后视为具体的数。统计量是样本的函数，因此统计量也具有两重性。

1.2.2 常用统计量

(1) 样本均值

设 $X_1,\cdots,X_n$ 是从总体 $X$ 中抽取的样本，样本均值定义为

$$\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$$

样本均值反映了总体均值的信息。

(2) 样本方差

设 $X_1,\cdots,X_n$ 是从总体 $X$ 中抽取的样本，样本方差定义为

$$S^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$$

样本均值反映了总体方差的信息。同时将 $S$ 称为样本标准差，它反映了总体标准差的信息。有时也用下式作为样本方差的定义。

$$S_n^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$$

样本均值和样本方差是两个最常用的统计量，它们具有如下三个性质：

• $\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X}) = 0$。

• 设非零数 $a$ 和 $b$ 为常数，做变换 $Y_i = a X_i + b,i=1,2,\cdots,n$，则 $Y_1,\cdots,Y_n$ 的样本均值 $\overline{Y} = a \overline{X}$，样本方差 $S_{Y}^2 = a^2 S_X^2$。

• 对于任意常数 $c$，有

$$\sum_{i=1}^n (X_i - c)^2 \geqslant \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$$

上式等号当且仅当 $c = \overline{X}$ 时成立。这个性质表明，在偏差平方和最小的准则下，用总体均值 $a$ 的 $n$ 次测量值的算术平均值估计 $a$ 是最好的。

(3) 样本矩

设 $X_1,\cdots,X_n$ 为从总体 $X$ 中抽取的样本，称下式为样本 $k$ 阶原点矩。

$$a_{n,k} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^k, \quad k=1,2,\cdots$$

特别当 $k=1$ 时，$a_{n,1} = \overline{X}$，即样本均值，称下式为样本 $k$ 阶中心矩。

$$m_{n,k} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^k, \quad k=1,2,\cdots$$

特别当 $k=2$ 时，$m_{n,2} = (n-1) S^2 / n$。

样本的原点矩和中心距统称为样本矩。

(4) 二维随机向量的样本矩

设 $(X_1,Y_1),\cdots,(X_n,Y_n)$ 为从二维总体 $F(x,y)$ 中抽取的样本。

$$\begin{align*} \overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, \quad S_X^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 \\ \overline{Y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i, \quad S_Y^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (Y_i - \overline{Y})^2 \\ S_{XY} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})(Y_i - \overline{Y}) \end{align*}$$

分别将上式称为 $X$ 和 $Y$ 的样本均值、样本方差以及 $X$ 和 $Y$ 的样本协方差。

(5) 次序统计量及其相关统计量

设 $X_1,\cdots,X_n$ 为从总体 $X$ 中抽取的样本，将其按大小排列为 $X_{(1)} \leqslant X_{(2)} \leqslant \cdots \leqslant X_{(n)}$，则将 $(X_{(1)}, \cdots, X_{(n)})$ 称为样本 $(X_1, \cdots, X_n)$ 的次序统计量，其中任意一部分也称为次序统计量。

利用次序统计量定义下列统计量：

(5.1) 样本中位数

将下式称为样本中位数。

$$\begin{align*} m_{1/2} = \end{align*}$$