数学 - 控制论 - 第二章 控制论基础

2.1 系统的状态空间描述

一般来说，一个控制系统中的变量可以分为三类，第一类是外部环境对系统的作用，称为输入变量，包括环境变化对系统造成的影响和扰动，以及人们为了达到目标对系统施加的影响。输入变量有时也称为控制变量。第二类是系统对外部世界的作用，称为输出变量，又称为观测变量。输入变量和输出变量是系统的外部变量。第三类是描述系统内部动态的变量，称为状态变量。

定义 2.1.1 控制方程

设系统的状态变量为 $z(t):[0, \infty) \to Z \subset \mathbb{R}^n$，输入变量为 $u(t):[0, \infty) \to U \subset \mathbb{R}^m$，输出变量为 $y(t):[0, \infty) \to Z \subset \mathbb{R}^r$，其中 $m,n,r$ 是自然数。分别称 $Z,U,Y$ 为状态空间、输出空间（控制空间）和输出空间（观测空间）。用以下方程描述受控对象的动态过程：

$$\begin{align*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} z(t) & = f(t, z(t), u(t)), \quad z(t_0) = z_0 \tag{2.1.1} \\ y(t) & = g(t, z(t), u(t)), \quad t\in [t_0, t_e] \tag{2.1.2} \end{align*}$$

其中 $0 \leqslant t_0 \leqslant t_e \leqslant \infty$，函数解释 $f:[t_0, t_e] \times \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$ 和 $g:[t_0, t_e] \times \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^r$。 $z_0 \in Z$ 是初始状态。方程 $(2.1.1)$ 描述了输入引起的状态的变化，称为系统的状态方程；方程 $(2.1.2)$ 表达系统的输出由输入和状态所决定的过程，称为系统的输出方程或观测方程。称状态空间的维数为系统的阶数或维数。

下面给出线性系统的定义。

定义 2.1.2 线性系统

若映射 $f,g$ 是 $z,u$ 的线性函数，则称该系统是线性系统。有限维线性系统的状态方程和输出方程为如下形式：

$$\begin{align*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} z(t) & = A(t)z(t) + B(t)u(t), \quad z(t_0) = z_0 \\ y(t) & = C(t)z(t) + D(t)u(t), \quad t\in [t_0, t_e] \end{align*} \tag{2.1.3}$$

线性系统的重要特征之一是叠加原理：

• 当输入变量为 $u_1(\cdot)$ 和 $u_2(\cdot)$ 时，系统的状态分别为 $z_1(\cdot) = z(\cdot;t_0,z_0,u_1)$ 和 $z_2(\cdot) = z(\cdot;t_0,z_0,u_2)$。

• 若输入变量为 $c_1 u_1(\cdot) + c_2 u_2(\cdot)$，简单计算后得到，系统的状态为 $z(\cdot)=c_1 z_1(\cdot) + c_2 z_2(\cdot)$。即有下式

$$z(\cdot;t_0, z_0, c_1 u_1 + c_2 u_2) = c_1 z(\cdot;t_0, z_0, u_1) + c_2 z(\cdot;t_0, z_0, u_2)$$

• 对输出 $y(t)$ 也有同样的性质。

这表明，两个外作用同时加于系统所产生输出综合，等于各个外作用单独作用时分别产生的输出之和，且外作用增大若干倍时，其输出也增大同样倍数。

定义 2.1.3 有限维线性时不变系统

假设 $A(t) \equiv A$，$B(t) \equiv B$，$C(t) \equiv C$，$D(t) \equiv D$，输入和输出之间无直接关系，即 $D=0$，得到有限维线性时不变系统。

$$\begin{align*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} z(t) & = Az(t) + Bu(t),\quad t \geqslant 0,\quad z(t_0) = z_0 \\ y(t) & = C z(t), \quad t \in [t_0, t_e] \end{align*} \tag{2.1.4}$$

下面定义单输入单输出系统。

定义 2.1.4 单输入单输出系统

若系统的输入变量或输出变量是标量值函数，即 $u(\cdot)\in \mathbb{R}$ 或 $y(\cdot)\in \mathbb{R}$，则称该系统为单输入系统或单输出系统。

给出一个单输入单输出系统的例子。

$$\begin{align*} \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}t^n} y(t) + a_1 \frac{\mathrm{d}^{n-1}}{\mathrm{d}t^{n-1}} y(t) + \cdots + a_{n-1} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} y(t) + a_n y(t) = u(t) \tag{2.1.5} \end{align*}$$

常系数 $a_1$，$\cdots$，$a_n$ $\in \mathbb{R}$，若定义

$$z(t) = \begin{bmatrix} y(t) & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} y(t) & \cdots & \frac{\mathrm{d}^{n-1}}{\mathrm{d}t^{n-1}} \, y(t) \end{bmatrix}^T$$

则该控制系统的状态方程为

$$\begin{align*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} z(t) & = Az(t) + Bu(t) \\ & = \begin{bmatrix} 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 1 \\ -a_n & -a_{n-1} & \cdots & -a_3 & -a_{2} & -a_{1} \end{bmatrix} z(t) + \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} u(t) \\ \\ y(t) & = C z(t) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} z(t), \quad t\in [t_0, t_e] \end{align*} \tag{2.1.6}$$

我们可以得到系统 $(2.1.6)$ 的状态矩阵 $A$ 的特征多项式。

$$\left| \lambda I -A \right| = \lambda^n + a_1 \lambda^{n-1} + \cdots + a_n \tag{2.1.7}$$

2.2 自由系统

给出自由系统的定义。

定义 2.2.1 自由系统

若一个有限维线性时不变系统 $(2.1.4)$ 无输入和输出，即 $u(\cdot)=y(\cdot) \equiv 0$，则称相应的系统为自由系统。表示如下：

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} z(t) = Az(t),\quad t \in (t_0, t_e),\quad z(t_0) = z_0 \tag{2.2.1}$$

为方便，定义矩阵指数函数。

定义 2.2.2 矩阵指数函数

$A$ 是 $n$ 阶实矩阵，$t\in \mathbb{R}$。定义矩阵指数函数 $e^{At}$ 为

$$e^{At} \doteq \sum_{k=0}^{\infty} \frac{t^k}{k \, !} A^k \tag{2.2.2}$$

并称

$$\omega_g(A) \doteq \lim_{t \to \infty} \frac{\ln \| e^{At} \|}{t}$$

为矩阵指数函数的增长阶。

设 $\beta$ 是任意有限的正实数，则对于 $t \in [-\beta, \beta]$，有

$$\left\| \frac{t^k}{k \, !} A^k \right\| = \frac{|t|^k}{k \, !} \left\| A^k \right\| \leqslant \frac{\beta^k}{k \, !} \left\| A \right\|^k \doteq M_k$$

容易验证 $\sum_{i=0}^{\infty} M_k$ 收敛。因此，级数 $(2.2.2)$ 绝对一致收敛（此处指对每个矩阵 $e^{At}$ 中的元素都绝对一致收敛），由绝对一致收敛的性质

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} e^{At} = A + t A^2 + \frac{t^2}{2 \, !} A^3 + \cdots + \frac{t^k}{k \, !} A^{k+1} + \cdots = A e^{At}$$

因此，$e^{At}$ 是微分方程 $\dot{z}=Az$ 的唯一矩阵解。得到关于自由系统的一个基本结论。

定理 2.2.1

令 $z_0 \in \mathbb{R}^n$，对任意 $t \in [t_0, t_e]$，问题 $(2.1.8)$ 存在唯一解，该解为 $z(t) = e^{A(t-t_0)} z_0$。

此外，可以证明矩阵指数有下列性质：

定理 2.2.2

设 $A \in \mathbb{R}^{n\times n}$，则矩阵指数 $e^{At}$ 满足：

1. 若 $AB=BA$，则对任意 $t \in \mathbb{R}$，有 $e^{(A+B)t}=e^{At} e^{Bt}$

2. 对任意 $t \in \mathbb{R}$，$e^{At}$ 可逆，且 $(e^{At})^{-1} = e^{-At}$

3. 若 $S$ 可逆，则对任意 $t \in \mathbb{R}$，$S^{-1} e^{At} S = e^{(S^{-1} A S)t}$

利用矩阵指数函数，我们可以方便地得出有限维线性时不变系统 $(2.1.4)$ 的解为：

$$\begin{align*} z(t) & = e^{A(t - t_0)} z_0 + \int_{t_0}^t e^{A(t-s)} B u(s) \, \mathrm{d} s \tag{2.2.3} \\ y(t) & = C e^{A(t - t_0)} z_0 + C \int_{t_0}^t e^{A(t-s)} B u(s) \, \mathrm{d} s \tag{2.2.4} \end{align*}$$

2.3 输入输出映射

根据上式，我们定义有限维线性时不变系统的两个重要函数。

定义 2.3.1

有限维线性时不变系统 $\mathsf{\Sigma}(A,B,C)$ 的脉冲响应函数定义为

$$\mathcal{G}(t) = C e^{At} B$$

该系统的输入输出映射为 $\Psi : L^2([t_0, t_e]; \mathbb{R}^m) \to L^2([t_0, t_e]; \mathbb{R}^r)$，且有

$$(\Psi u) (t) = \int_{t_0}^t C e^{A(t-s)} B u(s) \, \mathrm{d} s$$

脉冲响应函数与输入输出映射描述了系统输入与输出之间的关系，事实上，有

$$y(t) = C e^{A(t - t_0)} z_0 + (\Psi u) (t) = C e^{A(t - t_0)} z_0 + (\mathcal{G} * u) (t) \tag{2.3.1}$$

下面给出传递函数的定义。

定义 2.3.2 传递函数

定义 $G(s) = C (sI - A)^{-1} B$ 为系统 $\mathsf{\Sigma}(A,B,C)$ 的传递函数。

传递函数有几点重要的性质：

• 传递函数 $G(s)$ 在 $\mathbb{C} \setminus \sigma(A)$ 上是解析的。

• 系统的初值 $z_0=0$，则输入的拉普拉斯变换和输出的拉普拉斯变换之间的关系有传递函数描述。

$$\hat{y} (s) = G(s) \hat{u} (s)$$

• 传递函数 $G(s)$ 是脉冲响应函数 $\mathcal{G}(t)$ 的拉普拉斯变换，即

$$G(s) = (\mathcal{L} \mathcal{G}) (t), \quad \forall s \in \mathbb{C} \setminus \sigma(A) \tag{2.3.2}$$

例 2.3.1 弹簧-质量-阻尼器系统

弹簧-质量-阻尼器系统是由弹簧、阻尼器以及它们连接的物体构成的，根据牛顿第二定律，系统的动力学模型为

$$m \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} t^2} x(t) + b \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} x(t) + k x(t) = u(t) \tag{2.3.3}$$

设系统的输出 $y(t)$ 是系统的位移，令

$$z = \begin{bmatrix} z_1 & z_2 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} x & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} x \end{bmatrix}^T$$

系统 $(2.3.3)$ 的状态空间表示为：

$$\begin{align*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} z(t) & = Az(t) + Bu(t) \\ & = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{k}{m} & -\frac{b}{m} \end{bmatrix} z(t) + \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{1}{m} \\ \end{bmatrix} u(t) \\ \\ y(t) & = C z(t) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} z(t), \quad t\in [t_0, t_e] \end{align*} \tag{2.3.4}$$

下面我们求解该系统的脉冲响应函数。

该系统是单输入单输出系统，因此其脉冲响应函数是变量值函数，设 $m=1$，此时系统的状态矩阵、输入矩阵、输出矩阵分别为：

$$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -k & -b \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}$$