圆台侧面积和体积计算公式推导

一、圆锥的表面积与体积计算公式

 

　　圆锥侧面积公式为：   

　　　　　　　　　　　　  　

　　体积公式为：

                                                

二、圆台表面积公式和体积公式

 

　　（1）圆台侧面积等于大圆锥侧面积减小圆锥侧面积：

　　　　　　　　　　　　 　　　　(1)

　　由于

　　　　　　　　　　　　　　

　　和　

　　　　　　　　　　　　

　　可得：

　　　　　　　　　　　　

　　代入(1)式得：

　　　　　　　　　　　　

　　（2）圆台体积等于大圆锥体积减小圆锥体积

　　　　　　　　　　　　　　(2)

　　由于

　　　　　　　　　　　　

　　和

　　　　　　　　　　　　

　　代入(2)式得：

　　　　　　　　　　　　

三、总结

　　圆台侧面积计算公式为：

　　　　　　　　　　　　　　

　　圆台体积计算公式为：

　　　　　　　　　　　　　　

四、应用

　　旋转曲面旋转面面积计算公式·推导：

　　取微小一段函数可近似看成直线方程，绕x轴旋转一周得到一圆台，那么，旋转面面积就可近似为所有微小圆台的侧面积之和。取n趋于无穷时的极限便可得到旋转曲面的面积。

　　即

　　　　　　　　　　　　

　　由于所取的微小圆台高度可以任意小，则顶面半径与底面半径可看作相等，并且都等于函数的值，圆台母线长度则为

代入上式可得：