2024.1.12 fxj（原 zjk）DP 专题

2024.1.12 fxj（原 zjk）DP 专题

GYM102904B Dispatch Money

题意

长度为 \(n\) 的排列，将其分段，每段的代价为逆序对数加 \(k\)，求最小代价和。

\(n \le 3 \times 10^5\)。

分析

逆序对数是很经典的有决策单调性的区间权值，考虑分治优化 dp。

由于是在线转移，考虑使用 CDQ 解决，如果用莫队维护逆序对数，根据整体二分经典结论：指针移动次数 \(\mathcal O(n\log^2 n)\)。

用 BIT 维护，总复杂度 \(\mathcal O(n\log^3 n)\)，可以通过。

Code

提交记录：https://codeforces.com/gym/102904/submission/241255308。

GYM102331J Jiry Matchings

题意

给定 \(n\) 个点的带边权树，对 \(k = 1 \sim n - 1\)，求大小为 \(k\) 的最大匹配。

\(n \le 2 \times 10^5\)。

分析

考虑朴素 dp，设 \(f_{u, i, 0/1}\) 表示 \(u\) 为根的子树，匹配了 \(i\) 组，是/否匹配了 \(u\) 的最大权值。

由于二分图最大权匹配显然是费用流可解问题，所以该 dp 具有凸性，可以 \(\mathcal O(sz)\) 的合并两个背包，这启示我们可以类全局平衡二叉树分支合并，可以做到复杂度 \(\mathcal O(n\log n)\)。

实现不精细的通过树剖优化的 dp 可以做到 \(\mathcal O(n\log^2 n)\)，也可以通过，给出该实现。

Code

提交记录：https://codeforces.com/gym/102331/submission/241414033。

HDU6094 Rikka with K-Match

题意

\(n \times m\) 的带边权网格图，求大小为 \(k\) 的最小权匹配权值。

\(n \le 5 \times 10^4, m \le 4\)。

分析

朴素 dp 设 \(f_{i, j, s}\) 表示考虑到第 \(i\) 行，匹配了 \(j\) 条边，上一行匹配的状态为 \(s\) 的最小权值。

该问题显然具有凸性，考虑使用 wqs 二分优化朴素 dp，注意转移顺序。

时间复杂度 \(\mathcal O(nm2^m\log v)\)。

Code

提交记录：https://paste.ubuntu.com/p/qk9qzSS6F4/ 或 http://www.gdfzoj.com:23380/submission/369741。

GYM102268J Jealous Split

题意

给一个长度为 \(n\) 的非负整数序列 \(a\)，你需要将其划分成 \(k\) 段。定义第 \(i\) 段的和为 \(s_i\)，最大值为 \(m_i\)，你的划分方案需要满足 \(\forall i \in \{1, 2, \dots, n\}, |s_i − s_{i+1}| \leq max(m_i, m_{i+1})\)。

构造一个方案或输出无解。

\(3 \leq k \leq n \leq 100\,000\), \(0 \leq a_i \leq 50\,000\)。

分析

如果出现非法状态，显然可以将和大的一边分一点向小的一边，这下我们可以确定对于最有分组方式有 \(s_i^k + s_{i + 1}^k\) 取到最小值，取 \(k = 2\)，可以通过 wqs 二分求解。

但是注意到 wqs 二分不能精准控制段数，只能找出上下界，这个时候要在保证满足四边形不等式约束的前提下在相邻位置调整，即找到一个 \(p_i < q_j \land q_{j + 1} < p_{i + 1}\) 的决策点。

复杂度 \(\mathcal O(n \log v)\)。

Code

提交记录：https://codeforces.com/gym/102268/submission/241522520。

[CTS2021] 数组

题解

求在满足 \(a_i \times a_{i + 1} \ge b_i\) 的前提下 \(\sum a_i\) 的最小值，注意 \(a_i \in \mathbb{R}^*\)。

\(n \le 3000, b_i \le 4000\)。

分析

考虑全程乘积对 \(b_i\) 要么取等，要么大于（且不连续），不然就太亏了，显然可以通过调整变更小。

那么对于一段取等的连续段，设左端点为 \(v\)，那么最后的和一定形如 \(pv + \dfrac{q}{v}\)，拿最小值和两端点处的值就都知道了。

现在考虑连接处，你既然都大于了，那两边不去到最优就太亏了，所以就能 dp 了，设 \(f_{i, j}\) 表示最后一段填的是 \([i, j]\) 的最小和，显然这是离线 dp 问题，可以通过前缀 \(\min\) 加二分最优决策点做到 \(\mathcal O(n^2\log n)\)。

Code

提交记录：https://paste.ubuntu.com/p/XySGc73Z9R/ 或 http://www.gdfzoj.com:23380/submission/369947。

「ZJOI2019」麻将

题解

一副麻将是胡的当且仅当达成以下两个条件之一：

  • 存在一个对子，三个面子；
  • 存在不相同的七个对子。

有 \(n\) 种牌，每种 \(4\) 张，给定前 \(13\) 张，求胡牌需要的期望轮数。

\(n \le 100\)。

分析

考虑将一个状态转换成每种花色 \(i\) 抽到了 \(a_i\) 张，那么如何对它 dp 检测是否胡牌呢？我们设 \(f_{i, j, k}\)：考虑到 \(i\)，钦定有 \(j\) 组 \((i - 1, i)\)，有 \(k\) 张 \(i\) 的最多面子数。为了以防形成考虑之外的面子，\(j, k < 3\)。

显然转移与 \(i\) 无关，考虑将转移的 DFA 建出来，进行 dp 套 dp，设 \(f_{i, j, k}\)：前 \(i\) 中花色，走到节点 \(j\)，用了 \(k\) 张牌的方案数。由于状态数 \(m = 2092\) 很小，所以暴力转移即可。

最后统计答案在非胡牌节点统计每种概率之和即可。

复杂度 \(\mathcal O(n^2m)\)。

Code

提交记录：https://loj.ac/s/1977794。

CF1456E XOR-ranges

题意

有序列 \(\{a_n\}\)，\(a_i\) 在 \([l_i, r_i]\) 中自由选取，\(r_i < 2^k\)，给定每个二进制位的代价 \(c_i\)，求 \(\sum \operatorname{cost}(a_i \bigoplus a_{i - 1})\) 的最小值。

\(n \le 50, k \le 50, c_i \le 10^{12}\)。

分析

显然可以将贡献拆到每一位算，考虑数位 dp，观察当限制被打破时可能出现的现象。

考虑第 \(i\) 位，对于序列 \(\{a_n\}\)，若 \(a_{2 \sim n - 1}\) 此时已不受限制，则这一位的贡献 \(\operatorname{cost}(a) = \operatorname{cost}(a_1 \bigoplus a_n)\)（显然可以令 \(\forall 1 < i < n, a_i = a_1\)）。设 \(h_i\) 为 \(a_i\) 打破限制的二进制位（从低到高），这说明：从高到底考虑（当前到 \(i\)），\(h_j \le i\) 的位置将会把一整段分为若干小区间，而第 \(i\) 位的贡献之和这些位置有关。

在上面限制的前提下就可以考虑区间 dp，设 \(f_{i, l, r, 0/1, 0/1, 0/1, 0/1}\) 表示考虑到二进制位 \(i\)，目前解决的是 \([l, r]\) 这个子问题，钦定 \(h_{l - 1}, h_{r + 1} \le i\)，且 \(a_{l - 1} / a_{r + 1}\) 顶上/下界，第 \(i\) 位是/否要取反（取反说明 \(h_j = i\)）。

转移分两部分：

  • 不存在分界点：\(i \gets i - 1\)；

  • 存在分界点：枚举分界点 \(l \le j \le r\)，\((l, r) \gets (l, j - 1) + (j + 1, r)\)，具体的还要枚举 \(h_j\) 是否等于 \(i\)。

复杂度 \(\mathcal O(n^3k)\)。

Code

提交记录：https://codeforces.com/contest/1456/submission/241557855。

HDU5121 Just A Mistake

题意

给定一颗 \(n\) 个点的树，对于所有 \(1 \sim n\) 的排列，依次加入 \(p_i\) 并维护独立集，求独立集大小的和模 \(10^9 + 7\) 的值。

\(n \le 200\)。

分析

考虑设 \(f_{u, i}\) 表示已 \(u\) 为根，\(u\) 在子树中排名为 \(i\)，\(u\) 必选的方案数。

考虑枚举儿子 \(v\)，要求 \(v\) 必须在 \(u\) 之后被选，组合数计算法案即可。

Code

提交记录：https://paste.ubuntu.com/p/658pr2gdRf/ 或 http://www.gdfzoj.com:23380/submission/369887。

TopCoder 11779 Pikachu

题意

存在三种字符，它们的代价分别是 \(\{2, 2, 3\}\)，用它们拼出 \(n\) 个字符串，且 \(\not \exist i, j, s_i \text{ is preffix of } s_j\)，最小化 \(\sum a_i c_i\)，其中 \(c_i\) 位选用的字符的代价之和，\(a_i\) 由输入给定，并求出方案数模 \(10^9 + 7\)。

\(n \le 30\)。

分析

考虑用这三种字符建出一个特殊的字典树，定义一个节点的层数为 \(c_i\)。

显然每一层的节点要么形成我选用的字符串，要么向下延展，所以只需要接下来三层的点数就可以表示当前的状态。

所以考虑 \(f_{i, a, b, c}\) 表示已经使用 \(i\) 个节点，当前层，下一层，下下层的节点数为 \(a, b, c\)。

注意计算贡献可以考虑有多少个点将跨过当前这一层，即枚举这一层放 \(j\) 个点，贡献为 \(n - i - j\)。

复杂度 \(\mathcal O(n^5)\)。

Code

提交记录：https://paste.ubuntu.com/p/RVhxGjHrYn/ 或 http://www.gdfzoj.com:23380/submission/370377。

GYM102155B Short Random Problem

题意

给你一棵由 \(n\) 个顶点组成的树，每条边的长度是一个实数，在 \(0\) 和 \(1\) 之间独立均匀地随机选择，求这棵树的直径的期望值。

\(n \le 100\)。

分析

先简化问题，如果枚举直径中点在那一条边 \((u, v, w)\) 上（不妨假设 \(d_u < d_v\)），则需满足 \(d_v < \dfrac{d_u + d_v + w}{2} < d_u + w\)，就是 \(d_v < d_u + w\)，这样的话就具体化到了两边的最大深度。

考虑概率累计函数 \(F(x) = P(D \le x)\)，表示当前树的最大深度，那么在此基础上加一条边（相当于从儿子转移至父亲）就有 \(G(x) = \displaystyle\int_0^1 F(x - t)dt\)。

考虑这个函数的性质：

  • 对于任意树的形态，\(F(x)\) 是一个分段的有限多项式（产生性的段的原因是 \(x - t\) 属于上一段或不存在）；
  • \(F^\prime(x)\) 为 \(P(x = D)\) 的概率密度；
  • \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}(1 - F(x))dx = E(D)\)。

设 \(F(x) = f_i(x - (i - 1)) \ (i - 1 \le x \le i)\)，考虑怎么计算转移：转移相当于 \([x - 1, x]\) 这一部分的面积，但是有一部分在前一段，考虑容斥，变成总面积减 \([i - 2, x - 1]\) 的部分。具体的 \(g_i(x) = \displaystyle{\int (f_i(x) - f_{i - 1}(x))dx + \int_0^1f_{i - 1}(x)dx}\)。

最后统计答案的时候可以分成 \(E(d_u)\) 在减去 \(d_u + w < d_v\) 的 \(d_u\) 的期望，右侧 \(E(d_v)\) 同样计算，具体的：

\[\displaystyle{\frac{1}{2} + E(d_u) + E(d_v) - \int_{-\infty}^\infty xP(d_u + w = x)(1 - P(d_v \le x))dx + E(d_v) - \int_{-\infty}^\infty xP(d_v = x)P(d_u + w \le x)dx} \]

复杂度 \(\mathcal O(n^4)\)。

Code

提交记录：https://codeforces.com/gym/102155/submission/241864849。

P8497 [NOI2022] 移除石子

题意

有 \(n\) 堆石子，第 \(i\) 堆有 \(a_i\) 枚，通过如下操作将所有石子移除：

  • 选择 \(i\)，一处至少 \(2\) 枚石子；
  • 选择区间 \([l, r]\)，满足区间长度至少为 \(3\)，令 \(\forall i \in [l, r], a_i \gets a_i - 1\)。

给定 \(n, \{l_n\}, \{r_n\}\)，求有多少中不同的满足 \(a_i \in [l_i, r_i]\) 的 \(\{a_n\}\)，在任意加入恰好 \(m\) 个石子后能被完全移除，答案对 \(10^9 + 7\) 取模。

\(T \le 10, n \le 1000, r_i \le 10^9, m \le 100\)。

分析

考虑如何判断一个 \(\{a_n\}\) 能否被移除。

简化题意，先假设 \(k = 0\)：设计 \(f_{i, j, k}\) 表示考虑 \(1 \sim i\)，钦定 \(j\) 个二操作至少延伸到 \(i\)，\(k\) 个操作至少延伸到 \(i + 1\)，是否可行。转移要枚举以这一位为终点和起点的二操作分别有多少个，设有 \(l\) 个以 \(i\) 为起点，则要求 \(a_i - j - k - l \in \{x | x = 0 \lor x \ge 2\}\)。需要优化。

注意到：

  • 不可能出现相同的二操作，否则可以用一操作代替；
  • 操作区间长度只能为 \(\{3, 4, 5\}\) 否则可以分裂为更小的区间的共同效果。

所以：

  • 每个点出发的区间数小于等于 \(3\)，即 \(l \le 3\)，所以 \(k \le 3\)；

  • 到 \(i\) 时长度已达 \(3\) 的区间只有：起点 \(i - 2\) ，长度为 \(3, 4, 5\)；起点 \(i - 3\)，长度为 \({4, 5}\)；起点 \(i - 4\)，长度为 \(5\)；共 \(6\) 种，即 \(j \le 6\)。

进一步的优化发现：同时出现 \(4, 5\) 是可以用一次一操作和 \(3, 4\) 代替，所以 \(j \le 4, k \le 2\)。

但是直觉上觉得选择这么多二操作，可能出现大量浪费，不如用一操作代替，经过分类讨论，发现实际上 \(j \le 2, k \le 2\) 即可。

讨论加入 \(k\) 的情况：我们可以通过 dp 算出需要的石子数的下界，所以我们很希望能将恰好弱化为至多。

讨论：

  • \(k = 1\)，讨论不加入石子时有解的局面：

    • 出现一操作，把该石子在这个操作中一同去掉即可；
    • 有长度大于 \(3\) 的二操作，拆成一次操作去掉端点和额外石子和一次长度减一的二操作；
    • 有二操作且 \(n > 3\)，考虑延伸这个二操作。

    综上，只有当不存在操作（全零）或 \(a = \{1, 1, 1\}\) 时会矛盾，特判掉就行。

  • \(k > 1\)，分类讨论：

    • 若 \(k = 0\) 时有解，则用一次一操作将额外的全部消除；
    • 若 \(k = 1\) 时无解，不可能由某个局面加入 \(k - 1\) 个石子后由有解变为无解。

综上特判 \(\{0, 0, \dots\}, \{1, 1, 1\}\) 即可完成弱化。

将状态改为最小的额外石子数即可，转移的时候考虑设 \(v = a_i - j - k - l\)，那么贡献 \(w = \cases{-v & v < 0 \\ 1 & v = 1 \\ 0 & otherwise}\)。复杂度 \(\mathcal O(n\prod (r_i - l_i + 1))\)，代码：https://uoj.ac/submission/673513。

\(k = 0\) 的部分还启发我们进行 dp 套 dp，不难发现当 \(a_i > j + k + l\) 时本质相同，也就是说 \(8 \sim \infty\) 可以认为是同一种状态，我们考虑建出 DFA 进行转移，复杂度 \(\mathcal O(nS)\)，\(S\) 为状态数，大概级别不超过 \(2^9\)。

我们尝试将其搬到 \(k > 0\) 上，\(S\) 的理论上界达到 \(102^9\)（\(0 \sim 100\)，和无解），但是不难由贡献的形式感受到同一状态的九个值不会相差很大，实际上 \(S = 8765\)，可以通过。

复杂度 \(\mathcal O(nS)\)。

Code

提交记录：https://uoj.ac/submission/673523。

posted @ 2024-01-17 21:14  JWRuixi  阅读(41)  评论(0)  编辑  收藏  举报