9.22 NTF 集训队讲题

【清华集训 2014】主旋律

题意

给定一个 \(n\) 个点 \(m\) 条边的简单有向图，求所有边的子集中，有多少个满足这个保留这个边集后图强连通。

\(n \le 15\)，提交地址：https://uoj.ac/problem/37。

分析

设 \(f_s\)：只考虑点集 \(s\)，图强连通的方案数。正难则反，考虑算不强联通的，显然这样能将原图分为若干个强连通分量组成的 DAG，考虑分层剥叶子。

容易算重，于是容斥，设 \(g_s\)：点集 \(s\) 组成若干强连通分量的方案数（带容斥系数）。考虑 \(g\) 转移：枚举子集 \(t\)，则有 \(g_s \gets -f_t g_{s - t}\)。

设 \(d_s\)：点集 \(s\) 的导出子图的边数，\(d_{s \to t}\)：点集 \(s\) 中的点连向 \(t\) 中的点的边数。则有 \(f_s \gets g_t 2^{d_{s - t}} 2^{d_{t \to (s - t)}}\)。

时间复杂度 \(\mathcal O(3 ^ n)\)。

Code

提交记录：https://uoj.ac/submission/655841。

IOI2023 集训队互测 R3T1 整数

题意

给定长度为 \(2^n\) 的 01 序列 \(\{b_i\}\)。定义长度为 \(n\) 的序列 \(\{a_i\}\) 是好的，当且仅当在每一个二进制为 \(k\) 下，\(a\) 这一位拼接的二进制数满足 \(b_s = 1\)。给定上界，求 \(a\) 的数量。

\(n \le 18, r_i \le 2^{60}\)，提交地址：https://qoj.ac/problem/5019。

分析

考虑数位 DP，从前往后推，设 \(f_s\)：集合 \(s\) 违反上界的方案数；所求即为 \(f_{\emptyset}\)。

假设考虑到第 \(j\) 位，按 \(r_{i,j}\) 分类：

• \(r_{i, j} = 0\)：仅当 \(a_{i,j}\) 为 \(1\) 时违反，否则不变；
• \(r_{i,j} = 1\)：仅当 \(a_{i,j}\) 为 \(0\) 时不违反，否则不变。

发现相当于对于这一位 \(r_{i,j}\) 为 \(0\) 时或卷积，\(1\) 时与卷积。FWT 即可。

时间复杂度 \(\mathcal O(2^n n \log r)\)。

Code

提交记录：https://qoj.ac/submission/187683。

IOI2023 集训队互测 R15T1 翻修道路

题意

给定一个 \(n\) 个点 \(m\) 条边的有向图，每条边边权 \(a_i\)，或通过操作使之变成 \(b_i\)（保证 \(1 \le b_i \le a_i\)）。给定 \(k\) 个关键点，对于 \(x = 1, \dots m\)，操作至多 \(x\) 次，\(1\) 到关键点距离的最大值的最小值。

\(n, m \le 100, k \le 8\)，提交地址：https://qoj.ac/problem/5175。

分析

考虑在最短路树上 DP，设 \(f_{u, i, s}\)：从 \(u\) 开始，操作 \(i\) 次，已包含关键点集合 \(s\) 的最大值最小值。

转移与斯坦纳树类似，从 \((v, i, s) \to (u, i/i+1,s/s \ \cup {u})\)，或在同一子树中合并集合，时间复杂度 \(\mathcal O(m2^k \times m\log m)\)。

Code

提交记录：https://qoj.ac/submission/188438。

「THUSCH 2017」巧克力

题意

给定 \(n \times m\) 的表格，每个格子有权值和颜色（为 \(-1\) 就是不能选）。问最小的四连通块使得其中包含至少 \(k\) 中颜色，以及此基础上中位数的最小值。

\(n \times m \le 233, k \le 5\)。

分析

假设只有 \(k\) 种颜色，那直接将表格想象成图，让后设 \(f_{u, s}\)：你在 \(u\)，已收集到颜色集合 \(s\) 的最小连通块大小，套用斯坦纳树转移即可。考虑中位数就直接二分答案，然后在记录第二维小于 \(mid\) 减大于 \(mid\) 的最小值即可。

考虑随机分组解决多种颜色的问题，发现只需每组颜色出现在不同组中至少一次即可，\(100\) 多次就行了。

时间复杂度 \(\mathcal O(T3^knm\log(nm)\frac{k^k}{k!})\)。

Code

提交记录：https://loj.ac/s/1895842。

IOI2023 集训队互测 R8T1 环覆盖

题意

给定 \(n\) 个点 \(m\) 条边的简单有向图，对于每个 \(i \in [0, m]\)，计算保留 \(i\) 条边，原图为一个边仙人掌的方案数。

\(1 \le n \le 25\)，提交记录：https://qoj.ac/problem/5089。

分析

考虑即要求存在欧拉回路，所以要求每个点度数为偶数，将一条边看成一个点集合，那么相当于求对称差为 \(\emptyset\) 的方案数。

考虑对于每条边转化为集合幂级数 \(f_i(x,y) = 1 + x^{\{u_i,v_i\}}y\)，令 \(F(x,y)=\prod f_i(x,y)\)，所求即为 \([x^{\emptyset}y^i]F(x,y)\)，考虑对 \(x\) 这一维进行 FWT，考虑 FWT 的意义是完全在一个集合内的边数减去一边在其中的边数，所以每一项形如 \(1 \pm y\)，所以答案对所有 \(s\) 统计 \((1 - y)^{a_s}(1 + y)^{m - a_s}\)。

IFWT 的第 \(\emptyset\) 就相当于所有这样的多项式的和，直接使用组合数计算，时间复杂度 \(\mathcal O(2^n + m^2)\)。

Code

提交记录：https://qoj.ac/submission/188116。

CF1149D Abandoning Roads

题意

给定 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向联通图，只有 \(a,b\) 两种边权（\(a < b\)）。考虑这张图中的所有最小生成树，对于每个 \(i\)，求 \(1\) 到 \(i\) 在所有最小生成树中的最小距离。

\(n \le 70, m \le 200\)，提交地址：https://codeforces.com/problemset/problem/1149/D。

分析

考虑那些边可能出现在最小生成树中：

• 所有 \(a\) 边（不成环）；
• 链接由 \(a\) 边组成的连通块的 \(b\) 边。

考虑将所有 \(a\) 边提取出来缩点，让后只要在跑最短路时不会到同一个点即可。发现对于大小小于等于 \(3\) 的连通块，无论如何都不可能走回头路，所以只需要记录大小大于 \(3\) 的连通块是否到达过，跑分层图最短路，即可。

时间复杂度 \(\mathcal O(2^{\frac{n}{4}} m\log m)\)。

Code

提交记录：https://codeforces.com/contest/1149/submission/225192424。

CF1261F Xor-Set

题意

给定集合 \(A,B\)，求 \(C = \{x | x = a \bigoplus b, a \in A, b \in B\}\) 的所有元素的和。集合有若干个区间给出。

\(1 \le n, m \le 100, 1 \le l_i \le r_i \le 10^{18}\)，提交地址：https://codeforces.com/problemset/problem/1261/F。

分析

考虑将区间按二进制位拆开，若一个长度 \(2^x\) 的区间和长度为 \(2^y\) 的区间合并（\(x \le y\)），那么结果会是一个长度为 \(2^y\) 的区间，高位有两个区间的高位异或起来决定。区间数太多，不能接受。

考虑到，对于从同一个区间中衍生出的所有长度 \(2^x\)，且 \(x \le y\) 的子区间，它们与较长区间的异或结果相同，所以就没必要了，所以每个区间唯一对应一个区间，区间并即可。

时间复杂度 \(\mathcal O(mn\log^2V)\)。

Code

提交记录：https://codeforces.com/contest/1261/submission/225197423。

CF1062F Upgrading Cities

题意

给定 \(n\) 个点 \(m\) 条边的 DAG，问有多少个 \(u\)，满足：至多存在一个 \(v\)，\(u \not \to v \land v \not \to u\)。

\(n, m \le 3 \times 10^5\)，提交地址：https://codeforces.com/problemset/problem/1062/F。

分析

考虑拓扑排序后，令 \(u \gets id_u\)，\(id_u\) 为 \(u\) 拓扑排序后的编号。

考虑分 \(< u\) 和 \(> u\) 两部分分析，以小于为例。对于一个 \(v < u\)，若存在 \(w < u, (v, w) \in E\)，那么 \(v \not \to u\) 可以推出 \(w \not \to u\)，那么判断 \(v\) 无意。

设 \(r_u = \min\{v | (u, v) \in E\}\)，那么所有 \(< u\) 的点能到达 \(u\) 相当于 \(\forall v < u, r_v \le u\)。

那么原问题相当与若只存在一个 \(v < u\) 满足 \(r_v > u\)，则将它删去后重新检查，删掉 \(v\) 会使所有以 \(v\) 为最小出边的点，记 \(R_v\) 表示次小值即可。

时间复杂度 \(\mathcal O(n + m)\)。

Code

提交记录：https://codeforces.com/contest/1062/submission/225203501。

CF715E Complete the Permutations

题意

给定两个排列 \(\{p_n\}, \{q_n\}\)（有部分位置未知），定义 \(p, q\) 的距离为不断交换 \(p\) 中的两个数，使得 \(p, q\) 相同的最小交换次数。求 \(i := 0, \dots n -1\)，\(p, q\) 距离恰好为 \(i\) 的方案数。

\(n \le 250\)，提交记录：https://codeforces.com/problemset/problem/715/E。

分析

首先考虑两个排列的距离就是 \(p_i \to q_i\) 连边后图的 \(n - c\)，\(c\) 为环数，考虑计数不同的图。

考虑将图分为 \(4\) 类：

1. \(p \to q\)；
2. \(p \to 0\)；
3. \(0 \to q\)；
4. \(0 \to 0\)。

若存在 \(0 \to x, y \to 0 \land x = y\)，则将其合并为一个四类边。一类边可以缩点，注意判断是否成环。

设 \(n_1, n_2, n_3\) 分别表示二类，三类和四类的边数。

那么考虑计数二类边形成 \(i\) 个环的方案数：

\[f_i = \displaystyle\sum_{j = i}^{n_1} \binom{n_1}{j} {j \brack i}(n_1 - j + n_3 - 1)^{\underline{n_1 - j}} \]

意义是一条二类边的归宿要么是成环，要么是将二类链和四类链合并，四类边同理。

四类边形成 \(i\) 个环的方案数不难发现为：

\[g_i = \displaystyle {n_3 \brack i} n_3! \]

因为这些边可以任意选择。

剩下的部分直接卷积起来。

时间复杂度 \(\mathcal O(n^2)\)。

Code

提交记录：https://codeforces.com/contest/715/submission/225221642。