笔记：常见分布总结
离散型
0-1分布
\(P(X=k)=p^{1-k}(1-p)^k, k\in\{0,1\}\)
\(E(X)=p\)
\(D(X)=p(1-p)\)
二项分布\(b(n,p)\)
\(P(X=k)=C^k_np^k(1-p)^{n-k}\)
\(E(X)=np\)
\(D(X)=np(1-p)\)
泊松分布\(\pi(\lambda)\)
\(P(X=k)=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}, k\in N\)
如果单位时间事件发生的概率相同，记\(\lambda\)为单位时间事件的平均发生次数，则\(P(X=k)\)是单位时间事件发生k次的概率。
\(E(X)=\lambda\)
\(D(X)=\lambda\)
连续型
均匀分布\(U(a,b)\)
\[\begin{equation}
f(x)=\left\{
\begin{aligned}
\frac{1}{b-a} \quad a<x<b\\
0 \quad else\\
\end{aligned}
\right
.
\end{equation}
\]
\(E(X)=\frac{b+a}{2}\)
\(D(X)=\frac{(b-a)^2}{12}\)
指数分布\(E(\lambda)\)
\[\begin{equation}
f(x)=\left\{
\begin{aligned}
0 \quad x<0\\
\lambda e^{-\lambda x} \quad x\geq0\\
\end{aligned}
\right
.
\end{equation}
\]
\(\lambda\)为单位时间事件的平均发生次数，X表示两次事件发生的间隔。
\(E(X)=\frac{1}{\lambda}\)
\(D(X)=\frac{1}{\lambda^2}\)
正态分布\(N(\mu,\sigma^2)\)
\[f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2})
\]
\(E(x)=\mu\)
\(D(x)=\sigma^2\)
