用一个整数表达一个序列，可能吗

引言

早年，我发现了一种可以用一个整数表示一个序列的数学方法。
下表是3个数字的全排列，有6种情况，编号0到5。

编号	序列
0	0,1,2
1	0,2,1
2	1,0,2
3	1,2,0
4	2,0,1
5	2,1,0

(图片来自网络)

编码

下面介绍如何从序列计算出编号。以2,1,3,0为例。

2 1 3 0   2+0*4=2
  1 2 0   1+2*3=7
    1 0   1+7*2=15
      0   0+15*1=15

• 首先，取最左的数字2，得到了2。剩下1,3,0。把大于2的数字减1，得到1,2,0。
• 其次，取最左的数字1，把上一步得到的2，乘以当前的数字个数3，再和1相加，得到7。剩下2,0，把大于1的数字减1，得到1,0。
• 再次，取最左的数字1，把上一步得到的7，乘以当前的数字个数2，再和1相加，得到15。剩下0，把大于1的数字减1，得到0。
• 最后，取最左的数字0，把上一步得到的15，乘以当前的数字个数1，再和0相中，得到15。
  序列有几个数字，就作几次运算。

用同样的算法，把0,1,2,3共4个数字的全排列24种序列进行计算，刚好得到0至23共24个整数。

解码

那么，如何反算编号，还原出序列呢？以15还原出0~3共4个整数为例。

                 0
15/2=7...1   1   1 0
7/3=2....1   1   1 2 0
2/4=0....2   2   2 1 3 0

• 首先，固定给序列加上数字0。
• 其次，当前序列的个数1加上固定1得到2。15除以2商7余1，把余数1加到序列的左边，得到1,0。
• 再次，和上一步同样的算法，上一步的商7除以3商2余1，把序列中比1大的数字加1，再把1加到序列的左边，得到 1,2,0
• 最后，和上一步同样的算法，上一步的商2除以4商0余2，把序列中比2大的数字加1，再把2加到序列的左边，得到 2,1,3,0
  要还原的序列有几个数字，就作几次运算。最后一次运算的商肯定是0。

用同样的算法，把0至23共24个数字进行计算，刚好得到全排列24种序列。

优点

这种算法有什么优点

1. 一个整数，就能存储一个序列，非常节约了存储空间。
   多个数字变一个
2. 不同的序列，换算成的整数是连续的，还是节约存储空间。
   这一个数字还很小
3. 支持任意个数字的序列，有普通性。
   上述的例子是4个数的序列，这种算法支持任意的个数。当然，不能少于1个。

限制

这种算法有什么限制

1. 整数必须是从0开始，并且是连续的，即是0~n，共n+1个数。不是这种情况，得先转化成这种情况。
2. 必须是整数，不支持字符，除非能换算成整数

数字的个数

前面的例子，要还原出序列，即需要数字15，也需要知道序列的个数，即数字4。所以，完整来讲不是一个数，而是两个数。
在很多场景下，序列的个数是事先约好的，是固定的，所以，又变成了一个数。

看待

在我看来，这是一种从0开始的，顺序的，不重复的，整数序列的极致压缩算法。

由来

记得在2010年，就向朋友介绍过这种算法。这位朋友长期在国外，最近回国可能是探亲。令我想起这种算法，所以编理成文。
这种算法不是在哪里抄的，或借鉴的，是我自个儿琢磨的。目前推算，应该是2005至2010之间想出来的。