CF1721D Maximum AND 题解

CF1721D Maximum AND

给你两个数组 \(a,b\)。定义一个数组 \(c\)，其中每个元素 \(c_i=a_i\oplus b_i\)。定义函数 \(f(a,b)=c_1\& c_2\&\cdots \& c_n\)。求一个 \(b\) 的排列 \(b'\)，使得 \(f(a,b')\) 的值最大，输出这个最大值。

\(\oplus\) 为按位异或，$& $ 为按位与。

数据范围：\(n\leq 10^5,0\leq a_i,b_i\leq 2^{30}\)。

一个显然的点是 \(a,b\) 的地位是等价的，也可以对 \(a\) 数组进行排列。

最后答案是所有 \(c_i\) 按位与的形式。根据我们处理这类位运算的思想，需要从高位往低位贪心，高位答案能取 \(1\) 就取 \(1\)。

答案的第 \(k\) 位要取 \(1\)，其必要条件是所有 \(c_i\) 的这一位取值都要是 \(1\)。同时只有 \(0\oplus 1=1\oplus 0=1\)，这也就说明了如果 \(a_i\) 这一位为 \(1\)，那么 \(b_i\) 这一位为 \(0\)；如果 \(a_i\) 这一位为 \(0\)，\(b_i\) 这一位为 \(1\)。最终可以得出 \(a,b\) 中所有数的第 \(k\) 位为 \(1\) 的个数为 \(n\)。

所以在满足第 \(k\) 位可以取 \(1\) 的前提下，我们将 \(a,b\) 重新排序，重排后的 \(a\) 数组第 \(k\) 位为 \(1\) 的在前，为 \(0\) 的在后；\(b\) 数组则反之，\(0\) 在前，\(1\) 在后。这样得到的数组上下异或起来就是满足这一位的与为 \(1\) 的。同时假设重排后 \(a\) 数组 \(k\) 位为 \(0\) 的位置为 \(mid\)，那么 \([1,mid-1]\) 和 \([mid,r]\) 这两个区间内的数随意排列也是满足这一位为 \(k\) 这一条件的。

显然这是一个分治的过程。但是如果对于更低的位我们也要取 \(1\)，显然此时每一个子区间都要合法。一旦这一位不能取 \(1\)，那么这一位的所有子区间都不用再分治了，直接继承到更更低的位即可。

代码实现

赛时代码，及其繁琐，有很大的精简空间。

const int N=100005;
int n,a[N],b[N];bool ans[32];

int tmp;
inline bool cmpa(int x,int y){return ((x>>tmp)&1)>((y>>tmp)&1);}
inline bool cmpb(int x,int y){return ((x>>tmp)&1)<((y>>tmp)&1);}

typedef pair<int,int>ttfa;
ttfa lis[N],que[N];int tot,top;
inline bool check(int loc,int l,int r){
	int bota=0,botb=0,len=r-l+1;
	for(int i=l;i<=r;++i){
		if((a[i]>>loc)&1)++bota;
		if((b[i]>>loc)&1)++botb;
	}
	if(bota+botb!=len)return 0;
	return 1;
}
inline void divs(int loc,int l,int r){
	//printf("divs %d %d %d\n",loc,l,r);
	int bota=0,botb=0;
	for(int i=l;i<=r;++i){
		if((a[i]>>loc)&1)++bota;
		if((b[i]>>loc)&1)++botb;
	}
	tmp=loc;
	sort(a+l,a+r+1,cmpa);
	sort(b+l,b+r+1,cmpb);
	if(bota!=0)que[++top]={l,l+bota-1};
	if(botb!=0)que[++top]={r-botb+1,r};
}
inline void solve(){
	n=read();
	memset(ans,1,sizeof(ans));
	for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=read();
	for(int i=1;i<=n;++i)b[i]=read();
	lis[tot=1]={1,n};
	for(int k=30;k>=0;--k){
		for(int i=1;i<=tot;++i){
			if(!check(k,lis[i].first,lis[i].second))
				{ans[k]=0;break;}
		}
		if(ans[k]==0)continue;
		top=0;
		for(int i=1;i<=tot;++i)
			divs(k,lis[i].first,lis[i].second);
		tot=top;
		for(int i=1;i<=tot;++i)
			lis[i]=que[i];
	}
	int lasans=0;
	for(int i=30;i>=0;--i)
		if(ans[i])lasans|=(1<<i);
	printf("%d\n",lasans);
}
int main(){
	int T=read();
	while(T--)solve();
	return 0;
}