2.4 浮点数

2.4 浮点数

2.4.1 二进制小数

类似形如\(b_mb_{m-1}\cdots{}b_1b_0.b_{-1}b_{-2}\cdots{}b_{-n-1}b_{-n}\)的表示法，其中\(b_i\)的取值范围为0或1，该表示法所表示的数定义如下：

\[\begin{equation} b=\sum_{i=-n}^{m}2^{i}\times b_{i} \end{equation} \]

符号\(“.”\)为二进制小数点，点左边的位的权是2的正幂，点右边的位的权是2的负幂。

2.4.2 IEEE浮点数表示

IEEE浮点数标准用\(V=(-1)^s\times M \times 2^E\)的形式来表示一个数：

• 符号：s决定这个数是负数（s=1）还是正数（s=0），对于数值0的符号位解释作为特殊情况处理。

• 尾数：M是一个二进制小数，它的范围是\(1\thicksim 2-\varepsilon\)（规格化的），\(0\thicksim 1-\varepsilon\)（非规格化的）。

• 阶码：E的作用是对浮点数加权，这个权重是2的\(E\)次幂（可能为负）。

• 阶码字段：exp；小数字段：frac。

• 根据阶码字段exp的值，被编码的值可以分为四种不同的情况：

  • 规格化的：exp不全为0同时也不全为1；
  • 非规格化的：exp全为0；
  • 无穷大：exp全为1，且frac全为0；
  • NaN：exp全为1，frac不全为0；

情况1：规格化的浮点数计算方法

阶码字段exp：

\[E=e-Bias,\quad e是无符号数，其位表示为e_{k-1}\cdots e_2e_1 \\ Bias=2^{k-1}-1 \]

注意此时e不能全为0也不能全为1，对于单精度E的取值范围为：\(-126\thicksim +127\)，而双精度是\(-1022 \thicksim +1023\)。

小数字段frac:

\[M=1+f \\ f=0.f_{n-1}\cdots f_2f_1 \\ 可以看出二进制小数点在frac字段最高有效位左边 \]

情况2：非规格化的浮点数计算方法

阶码字段exp：

\[E=1-Bias \]

小数字段frac：

\[M=f=0.f_{n-1}\cdots f_2f_1 \]

情况3：特殊值

当阶码exp全为1，小数域全为0时，若\(s=0\)时是\(+\infty\)，若\(s=1\)时是\(-\infty\)。

当阶码exp全为1，小数域不全为0时，结果值为\(NaN\)，即“Not a Number”。

2.4.3 数字示例

浮点数能够使用整数排序函数来排序，将浮点数位模式解释为无符号数时，大小顺序不变。

2.4.4 舍入

由于浮点运算只能近似地表示实数运算，所以在很多情况下需要进行舍入

• 向偶数舍入：也称为最接近值舍入，eg: 1.4舍入为1，1.6舍入为2，1.5舍入为2。
• 向0舍入
• 向下舍入
• 向上舍入

2.4.5 浮点运算

把浮点值\(x\)和\(y\)看成实数，而某个运算\(\bigodot\)定义在实数上，则浮点运算为：

\[Round(x\odot y) \]

这是对实际运算的精确结果进行舍入后的结果

浮点加法

• 将\(x+^{f}y\)定义为\(Round(x+y)\)，对于所有x和y的值，加法运算是可交换的，但不可结合。
• 浮点加法满足单调属性：若\(a\geq b\)，对于任何\(x\)，都有\(x + a \geq x + b\)，无符号加法或补码加法不具有这个属性。

浮点乘法

• \(x*^fy\)定义为\(Round(x\times y)\)，可交换不可结合，不可分配。
• 满足单调性