数据结构（三十五）拓扑排序

　　一、拓扑排序的定义

　　1.AOV网：在一个表示工程的有向图中，用顶点表示活动，用弧表示活动之间的优先关系，这样的有向图为顶点表示活动的网，称为AOV网（Activity On Vertex Network）。

　　2.拓扑序列：设G={V，E}是一个具有n个顶点的有向图，V中的顶点序列v1，v2，...，vn，满足若从顶点vi到vj有一条路径，则在顶点序列中顶点vi必在vj之前，这样的顶点序列为一个拓扑序列。

　　3.拓扑排序：拓扑排序是对一个有向图构造拓扑序列的过程。构造时会有两个结果，如果此网的全部顶点都被输出，则说明它是不存在环（回路）的AOV网；如果输出的顶点少了，说明这个网存在环（回路），不是AOV网。

　　例如，

　　

　　这样的AOV拓扑序列不止一条。序列v0v1v2v3v4v5v6v7v8v9v10v11v12v13v14v15v16是一个拓扑序列，序列v0v1v4v3v2v7v6v5v8v10v9v12v11v14v13v15v16。

 

　　二、拓扑排序算法

　　1.拓扑排序算法的基本思路：

　　从AOV网中选择一个入度为0的顶点输出，然后删去此顶点，并删除以此顶点为尾的弧，继续重复此步骤，直到输出全部顶点或者AOV网中不存在入度为0的顶点为止。

　　2.由于拓扑排序的过程中，需要删除顶点，显然用邻接表更加方便，因此需要创建一个邻接表。同时算法过程中始终要查找入度为0的顶点，因此在原来的顶点表结构中，增加一个入度域in，得到的顶点结点结构和边结点结构就是下面这样。

• 顶点表结点结构

package bigjun.iplab.topologicalSort;
/**
 * 图的邻接表存储结构中的顶点结点类
 */
public class VertexNode {
    
    public int in;                    // 顶点的入度
    public Object data;                // 顶点的符号信息
    public EdgeNode firstEdge;        // 指向第一条依附于该顶点的弧
    
    
    public VertexNode(int in, Object data) {
        this(in, data, null);
    }
    
    public VertexNode(int in, Object data, EdgeNode firstEdge) {
        this.in = in;
        this.data = data;
        this.firstEdge = firstEdge;
    }
        
}

• 边表结点结构

package bigjun.iplab.topologicalSort;
/**
 * 用于拓扑排序算法中的邻接表存储结构中的边(或弧)结点类
 */
public class EdgeNode {

    public int adjVex;                // 该弧所指向的顶点在顶点数组中的下标
    public EdgeNode nextEdge;        // 指向下一条表示边或弧的结点类
        
    public EdgeNode(int adjVex) {
        this(adjVex, null);
    }
    
    public EdgeNode(int adjVex, EdgeNode nextEdge) {
        this.adjVex = adjVex;
        this.nextEdge = nextEdge;
    }
    
}

　　3.拓扑排序算法的C语言实现

#include "stdio.h"    
#include "stdlib.h"   
#include "io.h"  
#include "math.h"  
#include "time.h"

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define MAXEDGE 20
#define MAXVEX 14
#define INFINITY 65535

typedef int Status;    /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */

/* 邻接矩阵结构 */
typedef struct
{
    int vexs[MAXVEX];
    int arc[MAXVEX][MAXVEX];
    int numVertexes, numEdges;
}MGraph;

/* 邻接表结构****************** */
typedef struct EdgeNode /* 边表结点  */
{
    int adjvex;    /* 邻接点域，存储该顶点对应的下标 */
    int weight;        /* 用于存储权值，对于非网图可以不需要 */
    struct EdgeNode *next; /* 链域，指向下一个邻接点 */
}EdgeNode;

typedef struct VertexNode /* 顶点表结点 */
{
    int in;    /* 顶点入度 */
    int data; /* 顶点域，存储顶点信息 */
    EdgeNode *firstedge;/* 边表头指针 */
}VertexNode, AdjList[MAXVEX];

typedef struct
{
    AdjList adjList; 
    int numVertexes,numEdges; /* 图中当前顶点数和边数 */
}graphAdjList,*GraphAdjList;
/* **************************** */


void CreateMGraph(MGraph *G)/* 构件图 */
{
    int i, j;
    
    /* printf("请输入边数和顶点数:"); */
    G->numEdges=MAXEDGE;
    G->numVertexes=MAXVEX;

    for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)/* 初始化图 */
    {
        G->vexs[i]=i;
    }

    for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)/* 初始化图 */
    {
        for ( j = 0; j < G->numVertexes; j++)
        {
            G->arc[i][j]=0;
        }
    }

    G->arc[0][4]=1;
    G->arc[0][5]=1; 
    G->arc[0][11]=1; 
    G->arc[1][2]=1; 
    G->arc[1][4]=1; 
    G->arc[1][8]=1; 
    G->arc[2][5]=1; 
    G->arc[2][6]=1;
    G->arc[2][9]=1;
    G->arc[3][2]=1; 
    G->arc[3][13]=1;
    G->arc[4][7]=1;
    G->arc[5][8]=1;
    G->arc[5][12]=1; 
    G->arc[6][5]=1; 
    G->arc[8][7]=1;
    G->arc[9][10]=1;
    G->arc[9][11]=1;
    G->arc[10][13]=1;
    G->arc[12][9]=1;

}

/* 利用邻接矩阵构建邻接表 */
void CreateALGraph(MGraph G,GraphAdjList *GL)
{
    int i,j;
    EdgeNode *e;

    *GL = (GraphAdjList)malloc(sizeof(graphAdjList));

    (*GL)->numVertexes=G.numVertexes;
    (*GL)->numEdges=G.numEdges;
    for(i= 0;i <G.numVertexes;i++) /* 读入顶点信息，建立顶点表 */
    {
        (*GL)->adjList[i].in=0;
        (*GL)->adjList[i].data=G.vexs[i];
        (*GL)->adjList[i].firstedge=NULL;     /* 将边表置为空表 */
    }
    
    for(i=0;i<G.numVertexes;i++) /* 建立边表 */
    { 
        for(j=0;j<G.numVertexes;j++)
        {
            if (G.arc[i][j]==1)
            {
                e=(EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));
                e->adjvex=j;                    /* 邻接序号为j  */                        
                e->next=(*GL)->adjList[i].firstedge;    /* 将当前顶点上的指向的结点指针赋值给e */
                (*GL)->adjList[i].firstedge=e;        /* 将当前顶点的指针指向e  */  
                (*GL)->adjList[j].in++;
                
            }
        }
    }
    
}


/* 拓扑排序，若GL无回路，则输出拓扑排序序列并返回1，若有回路返回0。 */
Status TopologicalSort(GraphAdjList GL)
{    
    EdgeNode *e;    
    int i,k,gettop;   
    int top=0;  /* 用于栈指针下标  */
    int count=0;/* 用于统计输出顶点的个数  */    
    int *stack;    /* 建栈将入度为0的顶点入栈  */   
    stack=(int *)malloc(GL->numVertexes * sizeof(int) );    

    for(i = 0; i<GL->numVertexes; i++)                
        if(0 == GL->adjList[i].in) /* 将入度为0的顶点入栈 */         
            stack[++top]=i;    
    while(top!=0)    
    {        
        gettop=stack[top--];        
        printf("%d -> ",GL->adjList[gettop].data);        
        count++;        /* 输出i号顶点，并计数 */        
        for(e = GL->adjList[gettop].firstedge; e; e = e->next)        
        {            
            k=e->adjvex;            
            if( !(--GL->adjList[k].in) )  /* 将i号顶点的邻接点的入度减1，如果减1后为0，则入栈 */                
                stack[++top]=k;        
        }
    }   
    printf("\n");   
    if(count < GL->numVertexes)        
        return ERROR;    
    else       
        return OK;
}


int main(void)
{    
    MGraph G;  
    GraphAdjList GL; 
    int result;   
    CreateMGraph(&G);
    CreateALGraph(G,&GL);
    result=TopologicalSort(GL);
    printf("result:%d",result);

    return 0;
}

　　4.拓扑排序算法的Java语言实现

　　实现类：

package bigjun.iplab.topologicalSort;

import bigjun.iplab.linkStack.LinkStack;

public class TopologicalSort {

    public static void TopoSort(DirectedNetwork G) throws Exception {
        int count = 0;                      // 统计输出顶点的个数
        LinkStack S = new LinkStack();        
        for (int i = 0; i < G.getVexNum(); i++) {// 将入度为0的顶点入栈
            if (G.getVexs()[i].in == 0) {
                S.stackPush(i);
            }
        }
        System.out.println("对AOV网进行拓扑排序得到打印结果为: ");
        while (!S.isStackEmpty()) {
            int i = (int) S.stackPop();
            System.out.print(G.getVex(i) + "->");
            count++;
            // 遍历顶点Vi的边链表，将每一个弧头对应的顶点的入度减1，也就是把Vi和连接自己的弧断开
            for (EdgeNode edge = G.getVexs()[i].firstEdge; edge != null; edge = edge.nextEdge) {
                int k = edge.adjVex;
                if (--G.vexs[k].in == 0) {
                    S.stackPush(k);
                }
            }
        if (count > G.getVexNum()) 
            throw new Exception("这是一个有回环的图！");
        }
        System.out.println("Over!");
    }
}

　　测试代码（以下图的AOV网为例）：

　　

    public static DirectedNetwork createDN_ForTopologicalSort() {
        
        EdgeNode e_0_4 = new EdgeNode(4);
        EdgeNode e_0_5 = new EdgeNode(5, e_0_4);
        EdgeNode e_0_11 = new EdgeNode(11, e_0_5);
        VertexNode v0 = new VertexNode(0, "V0", e_0_11);
        
        EdgeNode e_1_2 = new EdgeNode(2);
        EdgeNode e_1_4 = new EdgeNode(4, e_1_2);
        EdgeNode e_1_8 = new EdgeNode(8, e_1_4);
        VertexNode v1 = new VertexNode(0, "V1", e_1_8);
        
        EdgeNode e_2_5 = new EdgeNode(5);
        EdgeNode e_2_6 = new EdgeNode(6, e_2_5);
        EdgeNode e_2_9 = new EdgeNode(9, e_2_6);
        VertexNode v2 = new VertexNode(2, "V2", e_2_9);
        
        EdgeNode e_3_2 = new EdgeNode(2);
        EdgeNode e_3_13 = new EdgeNode(13, e_3_2);
        VertexNode v3 = new VertexNode(0, "V3", e_3_13);
        
        EdgeNode e_4_7 = new EdgeNode(7);
        VertexNode v4 = new VertexNode(2, "V4", e_4_7);
        
        EdgeNode e_5_12 = new EdgeNode(12);
        EdgeNode e_5_8 = new EdgeNode(8, e_5_12);
        VertexNode v5 = new VertexNode(3, "V5", e_5_8);
        
        EdgeNode e_6_5 = new EdgeNode(5);
        VertexNode v6 = new VertexNode(1, "V6", e_6_5);
        
        VertexNode v7 = new VertexNode(2, "V7");
        
        EdgeNode e_8_7 = new EdgeNode(7);
        VertexNode v8 = new VertexNode(2, "V8", e_8_7);
        
        EdgeNode e_9_11 = new EdgeNode(11);
        EdgeNode e_9_10 = new EdgeNode(10, e_9_11);
        VertexNode v9 = new VertexNode(1, "V9", e_9_10);
        
        EdgeNode e_10_13 = new EdgeNode(13);
        VertexNode v10 = new VertexNode(1, "V10", e_10_13);
        
        VertexNode v11 = new VertexNode(2, "V11");
        
        EdgeNode e_12_9 = new EdgeNode(12);
        VertexNode v12 = new VertexNode(1, "V12", e_12_9);
        
        VertexNode v13 = new VertexNode(2, "V13");
        
        VertexNode[] vexs = {v0,v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7,v8,v9,v10,v11,v12,v13};
        
        int vertexNum = vexs.length;
        int edgeNum = 20;
        
        return new DirectedNetwork(vertexNum, edgeNum, vexs);
        
    }
    
    public static void main(String[] args) throws Exception {
        DirectedNetwork DN_ForTopoSort = createDN_ForTopologicalSort();
        TopologicalSort.TopoSort(DN_ForTopoSort);
    }

　　输出：

对AOV网进行拓扑排序得到打印结果为: 
V3->V1->V2->V6->V9->V10->V13->V0->V4->V5->V12->V8->V7->V11->Over!

　　结合例子分析代码执行过程：

　　

初始化，count=0，遍历所有的顶点结点，将入度为0的结点的数组下标入栈，即S：0,1,3
然后进入while循环，
-栈不为空，3出栈i等于3，打印V3，count=1，进入for循环，遍历v3的弧链表，k=13，将顶点v13的入度减1变为1，k=2，将顶点v2的入度减1变为1，将顶点v3上的弧删除
-栈不为空，1出栈i等于1，打印V1，count=2，进入for循环，遍历v1的弧链表，k=8，v8入度为1，k=4，v4入度为1，k=2，v2入度为0，将v2入栈，即S：2，0。将顶点v1上的弧删除
-其余同理

　　总结来说，为了保证弧尾的顶点在弧头之前被访问，拓扑排序算法的过程就是，先找入度为0的顶点（即最开始的弧尾），首先访问，访问完之后，将对应弧另一端的顶点的入度减1，并将这个弧删除，并继续找入度为0的点。