数据结构（二十八）图的定义和基本概念

　　一、图的定义

　　线性表中的数据元素之间是被串起来的，仅有线性关系，每个数据元素只有一个直接前驱和一个直接后继。

　　树形结构中的数据元素之间有明显的层次关系，并且每一层上的数据元素可能和下一层中多个元素相关，但只能和上一层中一个元素相关。

　　图是一种较线性表和树更加复杂的数据结构，图形结构中结点之间的关系可以是任意的，图中任意两个数据元素之间都可能相关。

　　图的定义：图（Graph）是由顶点的有穷非空集合（Vertex）和顶点之间边的集合（Edge）组成，通常表示为：G(V,E)。

• 线性表中把数据元素叫元素，树中把数据元素叫结点，图中把数据元素叫顶点。
• 图结构中，顶点集合V有穷非空，即不允许没有顶点；但是E可以为空，即只有顶点没有边，称为零图。
• 无向边：顶点u到v之间的边没有方向，此时(u,v)和(v,u)等同。
• 有向边：从u到v的边有方向，则为有向边，也成为弧（Arc），用<u,v>表示，其中u为弧尾（Tail），v为弧头（Head）。

　　二、图的其他概念

　　1.有向图：图中任意两个顶点之间的边都是有向边，则称该图为有向图（Directed Graph）。

　　2.无向图：图中任意两个顶点之间的边都是无向边，则称该图为无向图（Undirected Graph）。

　　3.简单图：图中不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现，则称该图为简单图，这里研究的都是简单图。

　　4.无向完全图：无向图中，任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。含有n个顶点的无向完全图有n(n-1)/2条边。

　　5.有向完全图：有向图中，任意两个顶点之间都存在边，则称该图为有向完全图。含有n个顶点的有向完全图有n(n-1)条边。

　　6.稀疏图和稠密图：在具有n个顶点、e条边的图中，若含有较少的边，则称图为稀疏图；反之，称图为稠密图。

　　7.权和网：在一个图中，每条边或弧可以表上具有某种实际含义的数值，次数值称为该边或弧上的权（Weight）。边或弧上标识权的图称为网（Network）。

　　8.子图：假设有两个图G(V,E)和G1(V1,E1)，如果V1属于V且E1属于E，则称G1为G的子图（Subgraph）。如果G1是G的子图，且V1=V，则G1是G的生成子图。

　　9.领接点：无向图中，若存在一条边（u,v），则称顶点u与v互为领接点，边（u,v）是顶点u和v关联的边。有向图中，若存在一条弧<u,v>，则称顶点u领接到v，顶点v领接自顶点u，弧<u,v>与顶点u和v相关联。

　　10.顶点的度：顶点的度（Degree）是图中与该顶点相关联边的数目。无向图中，顶点v的度是和v相关联的边的数目，记为TD(v)，无向图中边数就是各顶点度数和的一半。有向图中，以顶点v为头的弧的数目称为v的入度（InDegree），记为ID(v)；以v为尾的弧的数目称为v的出度（OutDegree），记为OD(v)，顶点v的度为TD(v)=ID(v)+OD(v)，有向图中的边数等于各顶点的出度和等于各顶点的入度和。

　　11.路径与路径长度：无向图G(V,E)中从顶点v到顶点v1的路径（Path）是一个顶点序列（v=v0,v1,...=v）。有向图中路径也是有向的。路径的长度是路径上的边或弧的数目。

　　12.回路：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或环（Cycle）。序列中顶点不重复出现的路径称为初等（简单）路径。除了第一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路，称为初等（简单）回路或初等（简单）环。

　　13.连通图：在无向图中，若从顶点u到顶点v有路径，则称u和v是连通的。如果对于图中的任意两个顶点均是连通的，则称该图是连通图（Connected Graph）。无向图中的极大连通子图称为连通分量。

　　14.强连通图与强联通分量：有向图中，若任意两个顶点均连通，则称该图为强连通图。有向图中的极大强连通子图称为强连通分量，强连通图只有一个强连通分量，即其本身；非强连接图有多个强连通分量。

　　15.生成树和生成森林：一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它含有图中全部的n个顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。如果一个图有n个顶点和小于n-1条边，则是非连通图，如果它多于n-1条边，必定构成一个环，因为这条边使得它依附的那两个顶点之间有了第二条路径。如果一个有向图恰有一个顶点的入度为0，其余顶点的入度均为1，则是一棵有向树。入度为0其实就是相当于树中的根结点，其余顶点入度为1就是说树的非根结点的双亲只有一个。一个有向图的生成森林由若干棵有由若干棵有向树组成，含有图中全部顶点，但只有足以构成若干棵不想交的有向树的弧。