数据结构（十九）二叉树的定义和性质

　　一、二叉树的定义

　　1.二叉树（Binary Tree）是n（n>=0）个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两颗互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。

　　2.二叉树的特点：

• 每个结点最多有两颗子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。
• 左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。
• 即使树中某结点只有一颗子树，也要区分它是左子树还是右子树。

　　3.二叉树具有五种基本形态：

• 空二叉树
• 只有一个根结点
• 根结点只有左子树
• 根结点只有右子树
• 根结点既有左子树又有右子树

　　4.特殊二叉树

　　（1）斜树：所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树，所有结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。

　　（2）满二叉树：所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上。

　　（3）对一颗具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i（1<=i<=n）的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中的位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。

　　二、二叉树的性质（注意，这里的i都是从0开始的）

　　1.在二叉树的第i层上至多有2^i个结点(i从0开始)。

　　2.深度为k的二叉树至多有2^k -1个结点(k从1开始)。

　　3.对任何一颗二叉树T，如果其终端节点树为n0，度为2的结点数为n2，则n0 = n2 +1（设度为1的结点数为n1，则结点总数为n=n0+n1+n2；又由于除了根结点外，每一个结点均对应一个进入它的分支，所以分支总数=n-1，又由于度为1的结点对应着1个从它引出的分支，度为2的结点对应着2个从它引出的分支，所以分支总数=n1+2*n2，即n-1=n1+2*n2）。

　　4.具有n个结点的完全二叉树的深度为【log2 n】+1（【x】表示不大于x的最大整数）（深度为k的满二叉树的结点数n一定是2^k -1）

　　5.如果对一颗有n个结点的完全二叉树（其深度为【log2 n】+1）的结点按层序编号（从第1层到第【log2 n】+1层，每层从左到右），对任一结点i（0<=i<=n-1）有：

• 如果i=0，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲是结点【(i-1)/2】
• 如果2i+1>n，则结点i无左孩子；否则其左孩子是结点2i+1
• 如果2i+2>n，则结点i无右孩子；否则其右孩子是结点2i+2