数据结构（十八）树的定义与存储结构

　　一、树的定义

　　1.树（Tree）是n（n>=0）个结点的有限集。n=0时称为空树。在任意一棵非空树中：（1）有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点；（2）当n>1时，其余结点可分为m（m>0）个互不相交的有限集T1、T2、...Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树（SubTree）。

　　2.结点分类：树的结点包含一个数据元素及若干指向其子树的分支。结点拥有的子树数称为结点的度（Degree）。度为0的结点称为叶结点（Leaf）或终端结点；度不为0的结点称为非终端结点或分支结点。除根结点之外，分支结点也称为内部结点。树的度是树内各结点的度的最大值。

　　3.结点间关系：结点的子树的根称为该结点的孩子（Child），该结点称为孩子的双亲（Parent）。同一个双亲的孩子之间互称为兄弟（Sibling），结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点，反之，以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。

　　4.结点的层次（Level）：从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层次。若某结点在第i层，则其子树的根就在第i+1层。其双亲在同一层的结点互为堂兄弟。树中结点的最大层次称为树的深度（Depth）或高度。

　　5.如果将树中结点的各子树看成从左到右是有次序的，不能互换的，则称该树为有序树，否则称为无序树。森林（Forest）是m（m>=0）棵互不相交的树的集合。对树中每个结点而言，其子树的集合即为森林。

　　二、树的存储结构

　　树的存储结构有四种不同的表示法：双亲表示法、孩子表示法、双亲孩子表示法、孩子兄弟表示法。

　　1.双亲表示法

　　以一组连续空间存储树的结点，同时在每个结点中，附设一个指示器指示其双亲结点在数组中的位置。结点结构包括data数据域和parent指针域。约定根结点的位置与设置为-1。这种存储结构，可以根据结点的parent指针很容易找到它的双亲结点，所用的时间复杂度为O(1)，直到parent为-1时，表示找到了树结点的根。但是，要知道结点的孩子是什么，只能遍历整个结构才行。

　　为了便于找到结点的孩子是什么，可以增加一个结点最左边孩子的域firstchild，叫它长子域，这样就很容易得到结点的孩子。如果没有孩子的结点，这个长子域就设置为-1。对于有2个孩子来说，知道了长子，另一个当然就是次子了。

　　为了便于体现各兄弟之间的关系，可以增加一个右兄弟域rightsib来记录每个结点右兄弟的下标，如果右兄弟不存在，就设置为-1。

　　2.孩子表示法

　　由于树中每个结点可能有多棵子树，可以考虑用多重链表，即每个结点有多个指针域，其中每个指针指向一棵子树的根结点，把这种方法叫做多重链表表示法。由于树的每个结点的读，也就是它的孩子个数是不同的，所以有两种方案来解决。

　　方案一：指针域的个数就等于树的度，也就是各个结点度的最大值。适用于树的各结点度相差很小的情况下，因为开辟的空间都被充分利用了。

　　方案二：每个结点指针域的个数等于该结点的度，专门取一个位置来存储结点指针域的个数。这种方法克服了浪费空间的缺点，对空间利用了是很高了，但是由于各个结点的链表是不相同的结构，加上要维护结点的度的数值，在运算上就会带来时间上的损耗。

　　孩子表示法既可以减少空指针的浪费又能使结点结构相同。具体办法是，把每个结点的孩子结点排列起来，以单链表作为存储结构，则n个结点有n个孩子链表，如果是叶子结点则次单链表为空。然后n个头指针又组成一个线性表，采用顺序存储结构，存放进一个一维数组中。表头数组的表结构包括data数据域和firstchild孩子链表头指针域。孩子链表的孩子结点的结构包括child数据域，用来存储某个结点在表头数组中的下标，还有next指针域，用来存储指向某结点的下一个孩子结点的指针。

　　3.双亲孩子表示法

　　对于孩子表示法来说，这样的结构对于查找某个结点的某个孩子，或者找某个结点的兄弟，只需要查找这个结点的孩子单链表即可。对于遍历整棵树也是很方便的，对头结点的数组循环即可。但是，要想知道某个结点的双亲是谁，就必须要遍历整棵树才行。可以把双亲表示法和孩子表示法综合一下形成双亲孩子表示法，即在头结点增加一个parent指针域即可。

　　4.孩子兄弟表示法

　　任意一棵树，它的结点的第一个孩子如果存在就是唯一的，它的右兄弟如果存在也是唯一的。因此，可以将结点结构设计成这样：data数据域，firstchild指针域用来存储该结点的第一个孩子结点的存储地址，rightsib指针域用来存储该结点的右兄弟结点的存储地址。

　　孩子兄弟表示法，给查找某个结点的某个孩子带来了方便，只需要通过firstchild找到次结点的长子，再通过长子结点的right找到它的二弟，接着一直下去，直到找到具体的孩子。