数据结构（二）算法基础与复杂度

　　一、算法基础

　　1.算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作。

　　2.算法具有五个基本特性：输入、输出、有穷性、确定性和可行性。

　　（1）输入输出：算法具有零个或多个输入，但是至少有一个或多个输出。　

　　（2）有穷性：指算法在执行有限的步骤之后，自动结束而不会出现无限循环，并且每一个步骤在可接受的时间内完成。

　　（3）确定性：算法的每一步骤都具有确定的含义，不会出现二义性。

　　（4）可行性：算法的每一步都必须是可行的，也就是说，每一步都能够通过执行有限次数完成。

　　3.算法设计的要求：正确性、可读性、健壮性、时间效率高和存储量低

　　（1）正确性：是指算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性、能正确反映问题的需求、能够得到问题的正确答案。

• 算法程序没有语法错误。
• 算法程序对于合法的输入数据能够产生满足要求的输出结果。
• 算法程序对于非法的输入数据能够得出满足规格说明的结果。
• 算法程序对于精心选择的，甚至***难的测试数据都有满足要求的输出结果。　　

　　（2）可读性：算法设计的另一目的是为了便于阅读、理解和交流。

　　（3）健壮性：当输入数据不合法时，算法也能做出相关处理，而不是产生异常或莫名其妙的结果。

　　（4）时间效率高和存储量低：对于同一个问题，如果有多个算法能够解决，执行时间短的算法效率高，程序运行时所占用的内存或外部硬盘存储空间少的存储量低。

　　4.算法效率的度量方法

　　（1）事后统计方法：通过设计好的测试程序和数据，利用计算机计时器对不同算法编制的程序的运行时间进行比较，从而确定算法效率的高低。

　　（2）事前分析估算方法：在计算机程序编制前，依据统计方法对算法进行估算。一个用高级程序语言编写的程序在计算机上运行时所消耗的时间取决于下列因素：①算法采用的策略、方法。②编译产生的代码质量。③问题的输入规模。④机器执行指令的速度。

　　

　　二、算法时间复杂度`

　　1.定义：在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间度量度，记作：T(n) = O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐进时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

　　2.推到大O阶的方法：①用常数1取代运行时间中的所有加法常数。②在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。③如果最高阶项存在且不是1，则去除于这个项相乘的常数。

　　3.算法时间复杂度可以分为：O(1)常数阶、O(n)线性阶、O(n^2)平方阶、O(log2n)对数阶、O(mxn)平方阶变体。 

 

　　三、算法空间复杂度

　　1.算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，算法空间复杂度的计算公式记作：S(n) = O(f(n))，其中n为问题的规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。

　　2.当不限定词地使用“复杂度”时，通常都是指时间复杂度。