一元函数积分学的概念与计算（二）

反常积分#

• 定积分存在的两个必要条件，积分区间有限，被积函数有界
• 破坏了积分区间的有限性，引出无穷区间上的反常积分
• 破坏了被积函数的有界性，引出无界函数的反常积分

 

无穷区间上反常积分的概念与敛散性#

 在反常积分中，一般把∞和使得函数极限为无穷的点（瑕点）统称为奇点

无界函数的反常积分的概念与敛散性#

b是f(x)的唯一瑕点，则无界函数f(x)的反常积分定义为#

　　 若上述极限存在，称反常积分收敛，否则称为发散

• 当x=b为f(x)的无穷间断点，这时f(x)便是一个无界函数了，但积分 可能存在
• 定积分（黎曼积分）存在的必要条件是f(x)有界，但这里的积分是反常积分
• 定积分存在（常义可积），反常积分存在（广义可积）

若a是f(x)的唯一瑕点，则物件函数f(x)的反常积分定义为#

　　若上述极限存在，称反常积分收敛，否则称为发散

若c∈(a, b)是f(x)的唯一瑕点，则无界函数f(x)的反常积分定义为

　　，若上述右边两个反常积分都收敛，则称反常积分收敛，否则称发散