中值定理--函数的中值定理

费马引理#

• 设f(x)满足在x₀点处 可导且取极值，则 f'(x₀)=0
• 点x₀取极值则x₀的导数必为0

费马引理的证明#

　　

证明区间内一点导数为零，考虑罗尔定理和费马引理#

　　

• 导数不为0，导函数必然保号（恒正或恒负，因为零点定理）

罗尔定理#

 罗尔定理推广#

 罗尔定理的使用#

利用乘积求导公式的逆用，(uv)' = u'v + uv'

解题关键#

• 构造辅助函数
• 找相等的端点

 

拉格朗日中值定理#

柯西中值定理#

• 设f(x)，g(x)满足，在[a, b]连续，在(a, b)内可导，存在ξ ∈(a, b)，g'(x)≠0，使得 
• 取g(x)=x，可以推出拉格朗日中值定理   拉格朗日是柯西的特例

•  令f(a)=f(b)，可以推出罗尔定理

泰勒公式#

常用的级数#

 

 

 

联系 f 与 f ' 考虑拉格朗日，联系 f 与 f '' 考虑泰勒公式#

 

达布中值定理（导函数介质定理）#

 

根据达布中值定理，如果导函数存在，要么连续，要么震荡#