Loading

一元函数微分学几何应用（一）-- 单调性与极值

单调性与极值的判别

单调性的判别

  • 若 y = f(x)在区间I上有f'(x)>0，则 y=f(x)在I上严格单调增加
  • 若 y = f(x)在区间I上有f'(x)<0，则 y=f(x)在I上严格单调增加

费马引理（极值点的必要条件）

  • 一阶可导点是极值点的必要条件（极值导数必为0，导数为0不一定是极值，如y=x3）
  • 设f(x)在x=x0处可导，且在点x0处取得极值，则必有f'(x0)=0

判别极值的第一充分条件（左右邻域一阶导异号）

  • 极值点不一定是可导点
  • 左邻域内，f'(x)<0，而右邻域，f'(x)>0，则f(x)在x=x0处取得极小值
  • 左邻域内，f'(x)>0，而右邻域，f'(x)<0，则f(x)在x=x0处取得极大值
  • 若f'(x)在左右邻域内不变号，则点x0不是极值点

判别极值的第二充分条件（一阶导数=0，二阶导数≠0）

  • 设f(x)在x=x0处二阶可导，且f'(x0)=0，f''(x0)≠0
  • 若f''(x0)<0，则f(x)在x0处取得极大值
  • 若f''(x0)>0，则f(x)在x0处取得极小值
  • 可以用一阶导数定义和保号性证明

判别极值的第三充分条件（高阶导）

  • f(x)在x0处n阶可导，且 f(m)(x0)=0(m=1,2,...,n-1)，f(n)(x)≠0(n≥2)
  • f'(x0)=f''(x0)=...=f(n-1)(x0)=0
  • 若n为偶数且f(n)(x0)<0时，f(x)在x0处取得极大值
  • 若n为偶数且f(n)(x0)>0时，f(x)在x0处取得极小值

拉格朗日中值定理推广（联系函数与导函数）

  • f(b) - f(a) = f'(ξ)(b - a)
  • f(x) - f(x0) = f'(ξ)(x - x0)
posted @ 2020-01-02 11:34  BigBender  阅读(644)  评论(0)  编辑  收藏  举报