数列的极限

极限，从通俗、直观意义上讲，是一个"无限趋近的过程"

 

数列极限定义

 数列收敛与其子数列收敛的关系

 如果能找到一个子数列发散，则原数列发散

如果能找到两个子数列收敛，且收敛到不同极限，则原数列也一定发散

数列的三个性质

 

保号性，数列存在极限，则存在子数列与极限同正负

保号性的推论

 

脱帽法(极限正负 => 通项正负)

 

戴帽法(通项正负 => 极限正负，带等号，不能保证极限值为0，比如 1/n，趋向∞，极限值为0)

 

极限运算规则

• 和的极限等于极限的和
• 积的极限等于极限的积
• 商的极限等于极限的商

 和的极限不能推出各相加项的极限存在，不能将一个极限拆开，制造不存在的东西

 

夹逼准则（夹，逼近）

例题

放缩法，分子不变，只动分母

单调有界准则

见到递推式、迭代式，考虑单调有界准则

• 算几不等式，几何平均值 ≤ 算术平均值

• 不等式 sin x < x，x > 0

• 缩放，裂项相消法

• 直接计算