部分DP总结

一 背包：

背包是比较基础但应用比较广泛的一类DP， 其主要类型包括01背包， 完全背包， 多重背包， 分组背包等；

背包问题条件一般可以化为： 给定n个物品，每一个物品有一个价值，一个代价；

 

01背包就是在给定上述条件下 （每个物品只能用一次）求代价S以内能得到的最大价值。

01背包可以滚成一维，只不过枚举价值时应倒着枚举；

 

完全背包就是01背包问题中的每个物品可以用任意多次， 和01背包的唯一区别就是枚举价值正着枚举就行了。

 

多重背包就是01背包问题中的每个物品最多可以用给定次数次。

对于多重背包问题的解决， 比较直接的思路是在和之前两个一样，不过就是多枚举一个用到的次数 （次数的枚举在物品和价值的枚举之间）。

但是这样复杂度还是比较高的， 我们可以考虑如何优化。

首先， 对于任意一个数k， 它可以拆成几个2的次幂的和；

所以我们把每个物品能用的次数拆分成若干个（每个都是２的多少次幂，和为它本身）吗，直接当01背包转移

这样在转移过程中，对于每一个物品，每个可能的用的次数都会被使用到吗，所以正确性是显然的；

同时，我们也总共只要枚举 sigma （logCi）个物品， 复杂度显然也更优秀了；

 

分组背包就是有N组物品，每组Ci个物品，每个物品都是和01背包的物品一样的条件；

直接当01背包来做（只不过要多枚举一个组数，同时组数也是第一维状态，同时应注意物品的那层循环在最内层）；同样的和01背包一样可以滚掉第一维；

 

其实单调队列也可用来优化背包，但是我自己都还没学。。。就算了吧~~~~(>_<)~~~~

 

几道背包的好题：BZOJ4272 挂饰 （01背包）， Luogu1537 弹珠（二进制优化多重背包）， Luogu1156 垃圾陷阱 （01背包吧。。反正蛮好的）；

 

二、区间DP 

区间DP没那么多好讲的， 听Dalao讲区间DP一般难在优化， 然后蒟蒻认为一般区间DP还难在发现他是区间DP（可能是我太水了）。。

直接贴几道好点的题目：Luogu1220关路灯， CF567FMausoleum（可以去Luogu上看宇智波鼬大佬的题解）， UVA10559 Blocks （可以去Luogu上看 EMT__Mashiro 神犇的题解）；

 

三、树形DP

怎么说呢 我也可以说刚刚入门啊！

其主要的思想就是先递归DP其子节点，然后回溯时在对此节点进行转移即可。

 

裸一点树形DP 没有上司的舞会 ， 时态同步 。

然后稍微进阶一点的是树形背包 就是在树形DP的形式下做背包问题，实际上也还是离不开上面的思想。

入门的树形背包 选课。

然后上面几道题都是在树上有明确转移方向的，也就是说他的根是给定的。

那么对于不定根的题目呢？？

这类暴力的思想是直接对每一个点作为根跑一遍树形DP，那样复杂度是会多一个n的 ，显然不优。

那么怎样来做呢？？ 

实际上这一类问题一般都可以发现一个共性，把他做根的DP值是与把其父亲节点做根的DP值是息息相关的。

仔细思考我们可以发现 ，这之间一定存在这某种递推关系有父节点的DP答案能够推出他的答案，不需要再DP一遍！！

为什么呢？？

因为整棵树的结果就可以看成一部分由以它本身为根的子树组成（这是DP出来了的）， 另一部分就是剩下的；

在把他换成根后，一部分的贡献已知， 另一部分的贡献就是他父亲的DP值减去它本身的贡献，两部分合起来就是以他为根的答案。

这样的话， 我们只要任意选一点为根跑一遍DP， 在通过遍历树的方法自顶向下递推一下就可以了。

 

暂时先写这一点点吧 。还有很多类型的DP都没有涉及到，希望以后能抓紧时间补上。