狄利克雷卷积 && 莫比乌斯反演

狄利克雷卷积 && 莫比乌斯反演

狄利克雷卷积

数论函数及其运算

数论函数是指定义域是正整数，值域是一个数集的函数。

加法，逐项相加，即\((f+h)(n)=f(n)+h(n)​\)；

数乘，这个数和每一项都相乘，即 \((xf)(n)=x·f(n)​\)

狄利克雷卷积

定义两个数论函数的狄利克雷卷积 \(*:​\)

若\(t=f*g​\)，则\(t(n)=\sum_{d|n}^{}f(d)·g(\frac{n}{d})​\)，又或者写成\(t(n)=\sum_{ij=n}f(i)\cdot g(j)​\)。

卷积性质

1. 交换律：\(f*g=g*f\)
2. 结合律： \((f*g)*h=f*(g*h)\)
3. 分配律：\((f+g)*h=f*h+g*h\)
4. 单位元：\(\epsilon*f=f​\),其中\(\epsilon=[n=1]​\)
5. 逆 元： 对于每个\(f(1)\not=0\)的\(f\)，都存在一个\(g\)，使得\(f*g=\epsilon\)，\(g\)为\(f\)的逆。

积性函数

定义不再重复。

常见的积性函数：

1.\(\phi(n)=n\prod_{i=1}^{k}{\frac{p_i-1}{p_i}}\)

2.\(id^k(n)=n^k​\),特别的记\(I(n)=id^0(n)=1,\ \ id(n)=id^1(n)=n​\)

3.\(\epsilon(n)=[n=1]​\)

4.\(\mu(n)=\cases{0,n存在两个或以上相同质因子\\ (-1)^k,n不存在两个或以上相同质因子}，k为质因子个数​\)

积性函数性质

1.积性函数的狄利克雷卷积还是积性函数。

2.积性函数的逆还是积性函数。

由积性函数的性质可知，通过计算出它在质因子幂处的取值，就可以得到它本身的值。

例如：\(\phi(n)=\prod_{i=1}^{cnt}\phi(p_i^{c_i})​\)

另外，容易发现\((\phi\ *\ I)(p^k)=p^k​\)，由性质1可得\(\phi*I=id​\)。

莫比乌斯反演

运用上述知识，从卷积的角度来认识莫比乌斯反演。

首先重新认识一下\(\mu​\)，定义\(\mu​\)为\(I​\)的逆。

由于\(I\)是积性的，而\(\mu\)是\(I\)的逆，所以\(\mu​\)也是积性的。

利用\(I*\mu=\epsilon​\)，可以得出：

\[\mu(p^k)=\cases{1\ \ \ \ \ k=0\\-1\ \ k=1\\0\ \ \ \ \ k>1} \]

再利用积性函数的性质1，可以得到上面写到的\(\mu​\)函数。

这个时候，我们顺便发现了一个\(\phi​\)与\(\mu​\)的关系：

\[\phi=id*I^{-1}=id*\mu\\ \phi(n)=\sum_{d\mid n}d\cdot\mu(\frac{n}{d}) \]

进入正题。

如果数论函数\(f,g\)满足:

\[f(n)=\sum_{d|n}g(n)\\ \]

那么，

\[g(n)=\sum_{d|n}\mu(d)\cdot f(\frac{n}{d}) \]

证明：直接写成卷积形式即可。

同时存在另外一种形式的莫比乌斯反演：

\[f(n)=\sum_{n|X}g(X)\\ g(n)=\sum_{n|X}\mu(\frac{X}{n})\cdot f(X) \]

证明：

定义新运算\((f\odot g)(n)=\sum_{n|X}f(\frac{X}{n})\cdot g(X)\)

下面先证明：\((f*g)\odot h=f\odot (g\odot h)​\)

\[(f\odot (g\odot h))(n)=\sum_{n|X}f(\frac{X}{n})\sum_{X|P}g(\frac{P}{X})h(P)\\ =\sum_{n|X}\sum_{X|P}f(\frac{X}{n})g(\frac{P}{X})h(P)\\ =\sum_{n|P}(f*g)(\frac{P}{n})h(P)\\ =((f*g)\odot h)(n) \]

所以就有

\[g=(\mu*I)\odot g=\mu\odot(I\odot g)=\mu\odot f \]

应当注意的是：

\[\sum_{n|X}\mu(\frac{X}{n})\cdot f(X)\not=\sum_{n|X}\mu(X)\cdot f(\frac{X}{n}) \]