无向图的连通性与相关问题
无向图的连通性与相关问题
一、相关概念：
给定一张无向图\(G=(V,E)\):
１、割点：若\(x\in V\)，从图中删去ｘ以及与ｘ相连的边后，图不连通，则ｘ为割点。
２、割边：若\(e\in E\)，从图中删去边ｅ后，图不连通，则ｅ为割边（桥）。
３、点（边）双联通分量：一张图不存在割点（边），则此图为点（边）双连通分量。
４、欧拉路、欧拉回路、欧拉图：若有一条从S到T的路径，满足恰好经过每一条边一次，则该路径为欧 拉路；特别地，当S=T时，此路为欧拉回路；一张所有点度数都为偶数的连通无向图为欧拉图。
二、Tarjan与割边、割点：
Tarjan能够在线性时间内求无向图的割点与割边。
对于Tarjan算法中定义的相关数组与变量不在赘述，直接讲一下判定法则。
割边判定法则：如果对于当前搜索点x，存在一条边\(e=(x,y)\)，满足\(low[y]>dfn[x]\)，则e为割边。
code：
void Tarjan(int x,int fx) {
RG int i,y;
dfn[x]=low[x]=++Time;
for(i=head[x];i;i=e[i].next)
if(!dfn[y=e[i].to]) {
Tarjan(y,x),low[x]=min(low[x],low[y]);
if(low[y]>dfn[x]) bri[i]=bri[i^1]=1;//成对储存，边从2开始
}
else if(y!=fx) low[x]=min(low[x],dfn[y]);
}
割边判定法则：如果对于当前搜索点x，满足\(low[y]≥dfn[x]\)，则x是割点。
不过，需要注意的是，当x为Tarjan算法的起点时，x至少需要有两个上述节点才是割点。
void tarjan(int x) {
RG int i,k,y,num=0;
dfn[x]=low[x]=++Time;
for(i=head[x];i;i=e[i].next)
if(!dfn[y=e[i].to]) {
tarjan(y),low[x]=min(low[x],low[y]);
if(dfn[x]<=low[y])
if(x!=RT||++num>1) cut[x]=1;
}
else low[x]=min(low[x],dfn[y]);
}
三、Tarjan与双连通分量
记点双连通分量为\(v-DCC\)，边双连通分量为\(e-DCC\)。
\(e-DCC\) 求法：去掉图中的所有的割边，剩下的每一个连通块都是一个$e-DCC $（直接dfs即可）。
\(e-DCC\) 缩点：直接把每一个连通块对应一个节点即可，可以得到一棵树（或森林）。
void dfs(int x) {// 划分连通块
RG int i,y;
vis[x]=1,bel[x]=cnt;// 标记该点为所在e-DCC编号
for(i=head[x];i;i=e[i].next)
if(!vis[y=e[i].to]&&!bri[i]) dfs(y);
}
\(v-DCC\) 求法：不是直接去掉所有的割点，剩下的每一个连通块都是一个\(v-DCC\)！
因为一条割边只能在一个\(e-DCC\)中，但是一个割点去能在多个\(v-DCC\)中。
所以可以用栈维护一下经过的节点，当存在\(low[y]≥dfn[x]\)成立时，无论x是否为根，都弹栈到y为止
所有这些弹出来的点与点x构成一个\(v-DCC\)。
\(v-DCC\) 缩点：每一个的\(v-DCC\)看成一个节点，同时每一个割点也单独看成一个节点。
每一个\(v-DCC\)向它包含的每一个割点连边，得到一颗树。事实上这棵树很棒！(下方的链接随笔e.e.)
割点的记录在新建的点上，其他点记录在对应的\(v-DCC\)上。
for(i=1;i<=n;++i)
if(cut[i]) bel[i]=++cnt,mtx[cnt]=1;
for(i=1,New();i<=cnt;++i)
for(j=0;j<vec[i].size();++j) // vec 存的是v-DCC的节点（含割点）
if(cut[x=vec[i][j]]) make(i,bel[x]);
else bel[x]=i;
利用缩点，我们就可以进一步解决有关无向图必经边、必经点的问题！←想了解？←。
四、欧拉路问题
无解判定：当且仅当每个点的度都为偶数才存在欧拉回路。
此处仅贴一下\(dfs\)求欧拉回路的模板（递归版）：
void dfs(int x) {
RG int i,y;
for(i=head[x];i;i=e[i].next) {
y=e[i].id;
if(!vis[y]) vis[y]=1,dfs(e[i].to),sta[++top]=y;
// 将栈中的节点倒序输出就是一条具体的欧拉回路方案
}
}
