CRT&&ExCRT

CRT&&ExCRT

CRT和ExCRT是用来求解如下的线性同余方程组的：

\[x\equiv a_1\ (mod\ p_1)\\ x\equiv a_2\ (mod\ p_2)\\ ……\\ x\equiv a_n\ (mod\ p_n)\\ \]

先考虑特殊一点的情况：任意的pi互质。可以用CRT解决。

CRT的核心思想就是构造。

考虑构造出每一个同余方程的解，并且使它们可以直接合并成最终答案，即两两之间互不影响。

\[令：\\ PP=\sum_{i=1}^n{p_i}\\ Pi=PP/pi\\ Ti为方程：Ti*Pi\equiv 1\ (mod\ p_i)\ 的解\\ 那么最后ans=\sum_{i=1}^n a_i*T_i*P_i \]

正确性很显然，回代进每一个方程即可。

但是 这个的正确性是基于pi互质的，如果不互质显然这个就不一定成立了。

那么怎么办呢？

不妨顺次考虑每一个方程，假设现在考虑到了第i个方程，前面i-1个方程的的解已经求出记为S。

\[令:\ PP=lcm(p_1,p_2,…,p_{i-1})\\ 则前i个方程的通解：X=S+k*PP\ (K\in Z) \]

假设第i个方程存在一个根\(X_0\)，满足\(X_0=S+T*PP\)，那么\(X_0\)为前i个方程的解。

所以现在的问题转化为求一个T，使之满足：

\[S+T*PP\equiv a_i\ (mod\ p_i) \]

来一波转化：

\[S+T*PP\equiv a_i\ (mod\ p_i)\\ \iff T*PP\equiv a_i-S\ (mod\ p_i)\\ \iff T*\frac{PP}{gcd(PP,p_i)}\equiv \frac{a_i-S}{gcd(PP,p_i)}\ (mod\ \frac{p_i}{gcd(PP,p_i)}) \]

此时上方程可以用Exgcd解决。

所以整个问题得到解决！

signed main()
{
	RG int i,x,y,d,fl,ans,now,res,gcd;
	scanf("%lld\n",&n);
	for (i=1;i<=n;++i) scanf("%lld %lld",&m[i],&a[i]);
	fl=0,ans=a[1],now=m[1]
    for (i=2;i<=n;++i) {
		gcd=exgcd(now,m[i],x,y),res=(a[i]-ans%m[i]+m[i])%m[i];
		if (res%gcd!=0) {fl=1;break;} //不能继续整除说明无解
		else d=m[i]/gcd,x=mul(x,res/gcd,d),ans+=x*now,now*=d,ans=(ans%now+now)%now;  	
	}
	printf("%lld\n",fl?-1:ans);	
	return 0;
}   //ExCRT