数学部分简单总结

总：

这里只包括了一些简单数学知识。

简单数论：

一、质数

1、单个质数的判定：① 试除法 ② Miller-Rabin

Miller-Rabin的基本思想：随机+费马小定理+二次探测定理。

[有兴趣的戳这里(在文章中间有提到)]

[Here is mine]

2、质数的筛法：① 欧拉筛 ② 线性筛

线性筛基本思想：确定每个数产生的唯一方式

只给当前数乘上一个质因子，且使得这个质因子是生成的合数的最小质因子,这样保证了合数质因子从大到小累积

线性筛：

	RG int n,m,cnt=0,i,j;
    n=gi(),m=gi();
    for(i=2;i<=n;++i) {
        if(!minpr[i])   // 数i的最小质因子
            pr[i]=1,minpr[i]=i,prime[++cnt]=i;
        for(j=1;j<=cnt&&prime[j]<=minpr[i]&&prime[j]*i<=n;++j)
            minpr[i*prime[j]]=prime[j];
    }

3、质因数分解：① 试除法 ② Pollard-Rho-大数质因数分解

Pollard-Rho的讲解戳上面那个链接。

关于Pollard-Rho的小优化：

① 每次算出一个差x后，不单单只看是否x|N,而是看是否gcd(x,N)>1。

② 在①的基础上，不需要每次都算gcd，而可以每127(其他数应该也行)个x累乘起来，和N算一次gcd。

　对Miller-Rabin的优化：对于质数选取选择:2,3,7,61,24251据说可以保证在10的14次方，只有46856248255981判不掉。

　这样可以筛出N的每一个因子，然后用Miller-Rabin判断是否为质数即可。

IL int Pollard_rho(int x,int c) {
    RG int i,j,Las,now=0,res,gcd;
    for (i=2;;i<<=1) {
        for (j=1,Las=now,res=1;j<=i;++j) {
            now=(qm(now,now,x)+c)%x,res=qm(res,abc(now-Las),x);
            if (!(i%137)) {
                gcd=getgcd(x,res);
                if (gcd>1) return gcd;
            }                     
            if (now==Las) return x;
        }
        gcd=getgcd(x,res);
        if (gcd>1) return gcd;
    }
}

IL void Find(int x,int c) {
    if (x<2||x<=ans) return;
    if (Miller_Rabin(x)) {ans=max(ans,x);return;}  
    RG int p=x;
    while (p==x) p=Pollard_rho(x,c--);
    while (x%p==0) x/=p;
    Find(p,c),Find(x,c);
}

题目：

Luogu Pollard-Rho 模板题

二、约数

1、算术基本定理及其推论：

\[N=\prod^{cnt}_{i=1}P_i^{c_i} \]

算术基本定理的推论（N的正约数和）：

\[\prod^{cnt}_{i=1}{\sum^{c_i}_{j=0}P_i^{j}} \]

2、N的正约数集合的求法：试除法

3、1～N每个数的正约数集合：倍数法

4、最大公约数：欧几里得算法

5、互质与欧拉函数：

\[\phi(n)=n*\prod_{质数p|n}{\frac{p-1}{p}} \]

证明：

首先只考虑两个质因子p，q的情况。

那么需要去掉的是数是p，q的倍数，所以减掉$n/p,n/q$。

但是同时为p，q倍数的数被减掉了两次，所以加上$n/(p*q)$。

所以得到$\phi=n-n/p-n/q+n/(p*q)=n*(1-\frac{1}{p})*(1-\frac{1}{q})$。

对所有的质因子进行上述过程可以得到$\phi(n)$。

故欧拉函数的计算可在质因数分解的过程中求得。

欧拉函数的性质：

① 对于任意n>1 ,1～n中与n互质的数的和为

\[n*\phi(n)/2 \]

证明：

$\because \gcd(a,b)=\gcd(a,a-b)$。

$\therefore$与n不互质的数$x,n-x$成对出现。

$\therefore$这些数的平均值为$n/2$。

又$\because \sum_{i=1}^{n-1}i=\frac{n}{2}*(n-1)$

$\therefore$与n互质的数的平均值也是$n/2$。

上述性质得证。

② 若a,b互质，则有：

\[\phi(ab)=\phi(a)*\phi(b) \]

证明：根据$\phi$的定义，直接$a,b$分解质因数即可。

　实际上，一个函数f，当a,b互质时，存在

\[f(ab)=f(a)*f(b) \]

那么f为积性函数。相关拓展内容

题目：

① 反素数 Sol

② 余数之和 Sol

③ Hankson的趣味题 Sol

三、同余

1、费马小定理：若P是质数，那么对于任意整数a，有：

\[a^P\equiv a\mod P \]

2、欧拉定理：若正整数a，n互质，则：

\[a^{\phi(n)}\equiv1\mod n \]

3、欧拉定理的推论：若正整数a，n互质，则对于任意整数b，有：

\[a^b\equiv a^{b\mod{\phi(n)}}\mod n \]

证明：

可以发现费马小定理是欧拉定理的n为质数时的一种特殊情况。

所以只需证明欧拉定理即可。下面证明欧拉定理。

记$1～n-1内与n互质的数为p_i,令x_i=a*p_i$

引理1：$x_i$在$\mod n$意义下两两不同。

证明：反证法。

若$x_i\equiv x_j\mod n$，

则$x_i-x_j\equiv0\mod n $，即$a*(p_i-p_j)\equiv0\mod n$

$\because a,p互质\to\therefore n\mid p_i-p_j$

显然$p_i,p_j<n,p_i\neq p_j$，所以上式不成立。所以假设不成立。

引理2：$x_i$在$\mod n$意义下与n互质。

证明：$\gcd(x_i,n)=\gcd(n,xi\%n)=1$

由于$p_i,x_i$都是$\phi(n)$个，$p_i,x_i$都是两两不同，并且$p_i,x_i$都与n互质

所以数集$P=\{p_i\in P\}$与数集$X=\{x_i\in X\}$相等。

所以可以得到：

\[x_1*x_2…*x_{\phi(n)}\equiv p_1*p_2*…p_{\phi(n)}\mod n\\ a*p_1*a*p_2*…a*p_{\phi(n)}\equiv p_1*p_2*…p_{\phi(n)}\mod n\\ (a^{\phi(n)}-1)*p_1*p_2*…p_{\phi(n)}\equiv 0 \mod n\\ \therefore a^{\phi(n)}\equiv 1 \mod n \]
命题得证。

关于欧拉定理的推论的证明：令$b=p*\phi(n)+q$，把次方展开即可。

４、裴蜀定理：对于任意整数a，b，存在一对整数ｘ，ｙ，满足：

\[a*x+b*y=\gcd{(a,b)} \]

证明：考虑欧几里得算法的过程。

当b=0时可以得到一组特解，每次回到上一层时，用原来的解总是可以得到一组新解。

扩展欧几里得算法即基于上述过程。

　　推广：对于更加一般的方程

\[a*x+b*y=c \]

它有解，当且仅当：

\[\gcd{(a,b)}\mid c \]

5、乘法逆元的求法（记为inv）：

① 费马小定理(若模数Ｐ为质数)。

② 扩展欧几里得算法。

③ 线性递推逆元:

\[inv[i]=(P-P/i)*inv[P\ mod\ i] \]

证明：

\[i*\lfloor\frac{P}{i}\rfloor+P\%i\equiv0\mod P\\ \lfloor\frac{P}{i}\rfloor\equiv-P\%i*i^{-1}\mod P\\ i^{-1}\equiv-\lfloor\frac{P}{i}\rfloor*(P\%i)^{-1}\mod P\\ i^{-1}\equiv(P-\lfloor\frac{P}{i}\rfloor)*(P\%i)^{-1}\mod P\\ \]

6、线性同余方程：CRT & ExCRT

有兴趣的戳这里

7、高次同余方程：BSGS & ExBSGS

有兴趣的戳这里

题目：

① The Luckiest Number Sol

② Sumdiv Sol

③ ExCRT模板

④ BSGS模板

⑤ ExBSGS模板

线性代数 & 组合数学：

四、矩阵乘法

主要用于加速递推。

需要特别留心的是关于类似floyd的可行矩阵的递推，可能会有点抽象。

直接上题吧：

① 石头游戏 Sol

② 数学作业 Sol

③ 花园 Sol

五、高斯消元与线性空间

1、Gauss_Jordan消元法（无回带操作）

IL void Gauss_Jordan() {
	RG int i,j,k,l;
	for(i=1;i<=n;++i) {
		for(j=cnt+1,l=0;j<=n;++j)
			if(fabs(a[j][i])>eps) {l=j;break;}
		if(!l) continue;
		for(j=i,++cnt;j<=n+1;++j) swap(a[cnt][j],a[l][j]);
		for(j=i+1;j<=n+1;++j) a[cnt][j]/=a[cnt][i];
		a[cnt][i]=1.0;
		for(j=1;j<=n;++j) {
			if(j==cnt) continue;
			RG DB res=a[j][i]/a[cnt][i];
			for(k=i;k<=n+1;++k) a[j][k]-=res*a[cnt][k];
		}			
	}
	for(i=cnt+1;i<=n;++i)
		if(fabs(a[i][n+1])>eps) {puts("-1");exit(0);}
	if(cnt<n) {puts("0");exit(0);}
}
// 无解输出-1 无穷解输出0

2、线性基

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题目：

① 球形空间产生器

② 开关问题

③ 线性基模板

④ 装备购买 Sol

⑤ XOR Sol