抽象代数笔记

6.1 代数结构

代数系统（代数）：非空集合 \(S\) 和 \(S\) 上的 \(k\) 个一元或二元运算 \(f_1, f_2, \cdots f_k\) 组成的系统。记作 \(<S, f_1, f_2, \cdots, f_k>\) 。

6.1.1 代数运算

设 \(A, B\) 是非空集合， \(f\) 是从 \(A ^ n\) 到 \(B\) 的一个映射，则称 \(f\) 为集合 \(A ^ n\) 到 \(B\) 的一个 \(n\) 元代数运算。（其中 \(n\) 称作该运算的阶）。
\(+, -, *, \circ\) 等这些符号加上 普通 的前缀，才代表的是其原来的运算。

运算的封闭性

设 \(f\) 为集合 \(A ^ n\) 到 \(B\) 的一个 \(n\) 元运算。若 $B \subseteq A $ ,则称 \(f\) 在集合 \(A\) 上是封闭的。
e.g. 普通减运算在 \(\mathbb N\) 上不封闭。

若称一个运算是某个集合上的运算，则该运算必须满足在这个集合上具有封闭性。

1. 运算性质 - 交换律

设 \(*\) 为 \(S\) 上的二元运算，若 $ \forall x, y \in S$ 都有：

\[x * y = y * x \]

则称运算 \(*\) 在 \(S\) 上可交换。
若已知该运算的运算表，则可通过判断该表是否满足沿主对角线对称，来判断是否满足交换律。

2. 运算性质 - 结合律

设 \(*\) 为 \(S\) 上的二元运算，若 $ \forall x, y, z \in S$ 都有:

\[(x * y) * z = x * (y * z) \]

则称运算 \(*\) 在 \(S\) 上可结合。
判断该运算是否满足结合律，不能通过运算表直观的看出来。

3. 运算性质 - 分配律

设 \(*, \circ\) 为 \(S\) 上的二元运算，若 $ \forall x, y, z \in S$ 都有：

\[x * (y \circ z) = (x * y) \circ (x * z), \quad 称 * 对 \circ 左可分配 \\ (y \circ z) * x = (y * x) \circ (z * x), \quad 称 \circ 对 * 右可分配 \]

则称 \(*\) 对 \(\circ\) 可分配。

4. 运算性质 - 吸收律

设 \(*, \circ\) 为 \(S\) 上的二元运算，若 $ \forall x, y \in S$ 都有：

\[x * (x \circ y) = x, \quad 称 * 对 \circ 左可吸收 \\ (x \circ y) * x = x, \quad 称 \circ 对 * 右可吸收 \]

则称 \(*\) 对 \(\circ\) 可吸收。
若 \(*\) 满足交换律，则只需证明一边满足吸收律即可。
e.g. 集合中的 \(\bigcup\) 运算对 \(\bigcap\) 运算可吸收。因为 \(A \bigcup (A \bigcap B) = A\)（右可吸收同理）。

5. 运算性质 - 等幂律

设 \(*\) 为 \(S\) 上的二元运算，若 $ \forall x \in S$ 都有:

\[x * x = x \]

则称运算 \(*\) 在 \(S\) 上满足等幂律。

6. 运算性质 - 消去律

设 \(*\) 为 \(S\) 上的二元运算，某个元素 \(a \in S\)，若 $ \forall x, y \in S$ 都有：

\[a * x = a * y \ \Rightarrow x = y, \quad 称a是左可消去的 \\ x * a = y * a \ \Rightarrow x = y, \quad 称a是右可消去的 \]

则称 \(a\) 关于 运算 \(*\) 是可消去的。
若 \(S\) 中所有的元素都满足消去律，则可说明 \(*\) 满足消去律。

\(a * x = a * y \ \Rightarrow x = y\) 叫做永真蕴含式。箭头左边的式子叫做前件，右边的叫做后件。永真蕴含式表明，若前件成立，则后件一定成立。永真蕴含式的逆否形式也成立。

可消去性可以从运算表中观察到。若 \(*\) 满足消去律，则运算表中每一行每一列中都没有相同的元素。

6.1.2 代数常元

该代数系统中与运算相关的特殊元素称作代数常元。

1. 幺元

设 \(*\) 是定义在 \(S\) 上的二元运算，若存在元素 \(e_l\) (或 \(e_r\)) 使得 \(\forall x \in A\) 都有：

\[e_l * x = x \quad （或 \ x * e_r = x） \]

则称 \(e_l\) (或 \(e_r\)) 是 \(S\) 中关于 \(*\) 运算的左（右）幺元。
若 \(e\) 既是左幺元又是右幺元，则称 \(e\) 是 \(S\) 中关于 \(*\) 运算的幺元。且 \(e\) 是 \(S\) 上关于 \(*\) 的唯一的幺元。

2. 零元

设 \(*\) 是定义在 \(S\) 上的二元运算，若存在元素 \(\theta_l\) (或 \(\theta_r\)) 使得 \(\forall x \in A\) 都有：

\[\theta_l * x = \theta_l \quad （或 \ x * \theta_r = \theta_r） \]

则称 \(\theta_l\) (或 \(\theta_r\)) 是 \(S\) 中关于 \(*\) 运算的左（右）零元。
若 \(\theta\) 既是左零元又是右零元，则称 \(\theta\) 是 \(S\) 中关于 \(*\) 运算的零元。且 \(\theta\) 是 \(S\) 上关于 \(*\) 的唯一的零元。

3. 逆元

设 \(*\) 是定义在 \(S\) 上的二元运算，\(e\) 是 \(S\) 中关于 \(*\) 运算的幺元。对于 \(x \in S\), 如果存在 \(y_l \in S\) （或 \(y_r \in S\)）使得：

\[y_l * x = e \quad （或 \ x * y_r = e） \]

则称 \(y_l\) (或 \(y_r\)) 是 \(x\) 的左（右）逆元。
若 \(y \in S\) 既是左逆元又是右逆元，则称 \(y\) 是 \(x\) 的逆元。

若 \(*\) 运算是可结合的，且对于 \(x \in S\) 存在 \(y_l, y_r\) ，则 \(y\) 是 \(x\) 的唯一的逆元, \(y = y_l = y_r\)。

6.2 子代数

6.2.1 子代数的定义

设 \(\langle A, *, \varDelta, k \rangle\) 是一个代数系统， \(*, \varDelta\) 分别是载体 \(A\) 上的二元运算和一元运算， \(k\) 是代数常元。若：

\[A' \subseteq A \\ A' 对 * 和 \varDelta 均封闭 \\ k \subseteq A' \]

则称 \(\langle A, *, \varDelta, k \rangle\) 是 \(A\) 的子代数系统。
若 \(A' = A\)， \(\langle A', *, \varDelta, k \rangle\) 被称为 \(A\) 的最大的子代数。
若 \(A' = k\)， \(\langle A', *, \varDelta, k \rangle\) 被称为 \(A\) 的最小的子代数。
最大和最小子代数被称为 \(A\) 的平凡子代数。其余的子代数（\(A' \subseteq A\)）被称为 \(A\) 的真子代数。

6.3 同态

6.3.1 同态的定义

设 \(A = \langle S, *, \varDelta, k \rangle, A' = \langle S', *', \varDelta', k' \rangle\) 两个具有相同构成的代数系统， \(f\) 是从 \(S\) 到 \(S'\) 的一个映射， 且对 \(\forall a, b \in S\) 满足（先运算再映射 = 先映射再运算）：

\[f(a*b) = f(a) *'f(b) \\ f(\varDelta a) = \varDelta'f(a) \\ f(k) = k' \]

则称 \(f\) 为由 \(A\) 到 \(A'\) 的一个同态映射， 简称同态， 记作 \(A \sim A'\)。

6.3.2 同态象

设 \(f\) 是从 \(A\) 到 \(A'\) 的同态映射，称 \(\langle f(S), *', \varDelta', k' \rangle\) 为 \(A\) 在映射 \(f\) 下的同态象。

6.3.3 同态的分类

设 \(f\) 是从 \(A\) 到 \(B\) 的一个映射。

1. 满射：若 \(B\) 中每个值都能在 \(A\) 中找到其原象，则称 \(f\) 是一个满射。
2. 单射：若 \(\forall x, y \in A, x \neq y\)，都有 \(f(x) \neq f(y)\)。则称 \(f\) 是一个单射。
3. 双射：既是满射又是双射的映射。

设 \(f\) 是从 \(A = \langle S, *, \varDelta, k \rangle\) 到 \(A' = \langle S', *', \varDelta', k' \rangle\) 的一个同态映射。

1. 若 \(f\) 是满射的，则称 \(f\) 是一个满同态。
2. 若 \(f\) 是单射的，则称 \(f\) 是一个单一同态。
3. 若 \(f\) 是双射的，则称 \(f\) 是一个同构映射，简称同构，记作 \(A \cong A'\)。
4. 若 \(A = A'\)，则称 \(f\) 为 \(A\) 上的自同态。
5. 若 \(A = A'\) 且 \(f\) 是双射的，则称 \(f\) 为 \(A\) 上的自同构。

6.3.4 同态的性质

设 \(f\) 是从 \(A = \langle S, *, \varDelta, k \rangle\) 到 \(A' = \langle S', *', \varDelta', k' \rangle\) 的一个同态映射。那么 \(A\) 的同态象 \(A'' = \langle f(S), *', \varDelta', k‘ \rangle\)。

1. \(A''\) 是 \(A'\) 的子代数。
2. 若 \(*\) 在 \(A\) 中可交换（可结合），则 \(*'\) 在 \(A''\) 中也可交换（可结合）。
3. 若在 \(A\) 中 \(*\) 对 \(\varDelta\) 可分配，则在 \(A''\) 中 \(*'\) 对 \(\varDelta'\) 也可分配。
4. 若 \(e\) 是 \(A\) 中关于运算 \(*\) 的幺元，则 \(f(e)\) 也是 \(A''\) 中关于运算 \(*'\) 的幺元。
5. 若 \(\theta\) 是 \(A\) 中关于运算 \(*\) 的零元，则 \(f(\theta)\) 也是 \(A''\) 中关于运算 \(*'\) 的零元。
6. \(\forall x \in S\), \(x\) 对运算 \(*\) 存在逆元 \(x^{-1}\)；则在 \(f(S)\) 中，\(f(x)\) 也有关于运算 \(*'\) 的逆元 \(f(x^{-1})\)。

6.4 同余

6.4.1 同余的定义

设代数系统 \(A = \langle S, *, \varDelta \rangle\) ， $ \sim $ 是载体 \(S\) 上的等价关系。 \(\forall a, b, c, d \in S：\)

1. 当 \(a \sim b\) 时，若 \(\varDelta a \sim \varDelta b\)，则说明等价关系在一元运算 \(\varDelta\) 下是可保持的，称 \(\sim\) 是关于运算 \(\varDelta\) 的同余关系。

2. 当 \(a \sim b, c \sim d\) 时，若 \(a * c \sim b * d\)，则说明等价关系在二元运算 \(*\) 下是可保持的，称 \(\sim\) 是关于运算 \(*\) 的同余关系。

若 \(\sim\) 在 \(A\) 上的所有运算下都是可保持的，则称 \(\sim\) 是代数系统 \(A\) 上的同余关系。

等价关系具有对称性、自反性、传递性。

6.4.2 与同态有关的定理

设 \(g\) 是从 \(A = \langle S, *, \varDelta, k \rangle\) 到 \(A' = \langle S', *', \varDelta', k' \rangle\) 的一个同态映射。若在 \(A\) 上定义等价关系 \(R\) ：

\[\langle a, b \rangle \in R, \quad iff: g(a) = g(b) \]

则 \(R\) 是 \(A\) 上的一个同余关系。

6.5 商代数

6.5.1 商代数的定义与性质

设代数系统 \(A = \langle S, *, \varDelta, k \rangle\)，\(\sim\) 是 \(A\) 上的同余关系。
则称 \(A\) 关于 \(\sim\) 的商代数 \(A/ \! \sim \ = \langle S/ \! \sim, *', \varDelta', [k] \rangle\)。其中 $ \varDelta'[a] = [\varDelta a], \ [a] ' [b] = [ab]$。

\(S/ \! \sim\) 是集合的集合，即等价类的集合。该集合是 \(S\) 的一个划分，即该集合中任意两元素（集合）的交集是空集（因为等价具有传递性）。\(*', \varDelta'\) 是集合间的运算，\([k]\) 是代数常元的集合。

小结：由等价关系 \(R\) 可以得到代数系统 \(A\) 的载体的一个划分，以这个划分为新的载体，按照原运算的规则建立等价类之间新的运算，这样得到的代数系统是原代数系统的商代数。

6.6 半群与独异点

6.6.1 半群与子半群

半群：对于一个代数系统 \(\langle S, * \rangle\)， \(*\) 是 \(S\) 上的二元运算，若运算 \(*\) 是可结合的，则称 \(\langle S, *\rangle\) 为半群。
子半群：设 \(\langle S, *\rangle\) 是一个半群， \(T \subseteq S\) 且 \(*\) 在 \(T\) 上是封闭的，那么 \(\langle T, *\rangle\) 是 \(\langle S, *\rangle\) 的子代数。\(\langle T, *\rangle\) 也是一个半群，称为 \(\langle S, *\rangle\) 的子半群（因为结合律在子代数上可继承）。

6.6.2 独异点与子独异点

独异点：含有幺元的半群（含幺半群）。
子独异点：满足是原代数系统的子代数，本身是独异点，且在相同运算下与原代数系统有相同幺元，那么称为是原独异点的子独异点。

6.6.3 半群与独异点的等幂元性质

设 \(\langle S, * \rangle\) 是一个半群，若 \(S\) 是一个有限集，则必存在 \(a \in S\)，使得 \(a * a = a\)。
证明：结合鸽巢原理。

6.6.4 交换半群与循环独异点

交换半群（独异点）：在半群（独异点）中，若运算是可交换的，则称此半群（独异点）为交换半群（独异点）。

循环独异点：设 \(\langle S, *, e \rangle\) 是一个独异点，若 \(\exist g \in S\) ，则 $ \forall a \in S , \exist k \in \mathbb N$ 使得 \(a = g ^ k\) （\(g ^ k\) 是 \(k\) 个 \(g\) 做运算的意思），则称此独异点为循环独异点。 （存在一个数能把其他所有数都表示出来）
\(g\) 称为该循环独异点的生成元，一个循环独异点的生成元个数可以不唯一。

6.7 群

6.7.1 群的定义

群：设 \(\langle G, * \rangle\) 是一个代数系统。若 \(*\) 运算是可结合的（是半群），并且存在幺元（是独异点），并且 \(\forall x \in G\)，都存在其唯一的逆元 \(x ^ {-1} \in G\)，则称 \(\langle G, * \rangle\) 是一个群。

群的阶数：群的元素个数，记作 \(|G|\) 。
根据 \(|G|\) 可以将群分为有限群和无限群。

6.7.2 群的性质

1. 群中无零元。
   （因为零元不可逆，故群中一定不含零元。）

2. 群中每个元素的逆元唯一。

3. 设 \(\langle G, * \rangle\) 是一个群，对于 \(a, b \in G\)，必存在唯一的 \(x \in G\)，使得 \(a * x = b\)。
   （即群中任何两个元素都能通过运算相互表示。）

4. 设 \(\langle G, * \rangle\) 是一个群， \(\forall a, b, c \in G\)，若有 \(a * b = a * c\) 或者 \(b * a = c * a\)，则必有 \(b = c\)（消去律）。
   （因为没有零元，所以可以直接消去。）

5. 设 \(\langle G, * \rangle\) 是一个群，除幺元 \(e\) 外，不可能有任何别的等幂元。

6. 群 \(\langle G, * \rangle\) 的运算表的每一行/每一列都是 \(G\) 中所有元素的一个置换。
   （ \(G\) 中每一个元素都会在运算表中的每一行/每一列出现，并且只出现一次。）