2023.1.12

A.Odd Divisor

Link

https://codeforces.com/contest/1475/problem/A

Statement

给定一个正整数 \(n \ (2 \leq n \leq 10 ^ {14})\) ，判断其是否至少有一个大于 \(1\) 的奇因子。

Solution

若 \(n\) 为奇数，那 \(n\) 本身就是一个符合条件的奇因子。

考虑偶数的情况：偶数可以由两个偶数相乘得到，也可以通过一奇一偶相乘得到。能被表示成 \(2\) 的 \(x\) 次幂的 \(n\) 只会属于第一种情况，其他则可以表示为第二种。判断 \(n\) 是否为 \(2\) 的 \(x\) 次幂有两种方法：(1) 看 \(n \& (n - 1)\) 是否为 \(0\)。（2）不断除 \(2\) 直至最后变成 \(1\)，途中不出现奇质因子。

B.Advertising Agency

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https://codeforces.com/contest/1475/problem/E

Statement

给定 \(n\) 个数，从中选 \(k\) 个，要求 \(\sum _{i = 1} ^ {k} a_i\) 最大，求方案数。

Solution

由于 \(sum\) 最大且固定，那么所有方案本质上都是相同的。（反证法：将 \(a_1, a_2, \cdots a_n\) 按降序排序，若存在 \(a_j (k < j \leq n)\) 使得方案更优，说明 \(a_j > a_k\), 那其必定排在前 \(k\) 大，与已知条件矛盾）。

故答案取决于前 \(k\) 大的数中，最小的那个数 \(x\) 的个数。令 \(cnt_x\) 表示 \(n\) 个数中 \(x\) 出现的次数，\(cnt_y\) 表示前 \(k\) 大的数中严格大于 \(x\) 的个数，易得答案为 \(\binom{cnt_x}{k - cnt_y}\)。

Code

#include <bits/stdc++.h>
const int lim = 1000;
const int mod = 1e9 + 7;
using namespace std;

int T, n, k, a[lim + 5], c[lim + 5][lim + 5];

void init() {
    c[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= lim; i++) {
        c[i][0] = 1;
        for (int j = 1; j <= i; j++) c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % mod;
    }
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0); cout.tie(0);
	freopen("in","r", stdin);
    cin >> T;
    init();
    while (T--) {
        cin >> n >> k;
        for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
        sort(a + 1, a + n + 1, greater<int>());
        int cnt1 = 0, cnt2 = 0, minn = a[k];
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            cnt1 += (a[i] == minn);
            cnt2 += (a[i] > minn);
        }
        cout << c[cnt1][k - cnt2] << "\n";
    }
	return 0;
}

C.Perfect Keyboard

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https://codeforces.com/contest/1303/problem/C

Statement

给定一个仅包含小写字母且相邻字母不一样的字符串 \(s\)，将 abcdefg...xyz 重排，重排后的字符串为 \(t\) ，询问是否能使得 \(s\) 中相邻的字母在 \(t\) 中也全部相邻，若可以则输出方案。

Solution

将 \(s\) 中相邻的字母进行连边（始终保证由字典序小的连接字典序大的），不难发现若出现度数大于 \(2\) 的节点或有环出现时，则答案不存在。否则可以从度数为 \(1\) 的点出发，对树进行深度优先遍历并记录路径，得到的答案序列则是符合条件的。

Code

#include <bits/stdc++.h>
const int N = 50;
using namespace std;

string s;
int T, deg[N];
bool vis[N], g[N][N];

void dfs(int x, string &ans) {
    vis[x] = 1;
    ans += (char)('a' + x - 1);
    for (int i = 1; i <= 26; i++) {
        if ((!g[x][i]) || (vis[i]))
            continue;
        dfs(i, ans);
    }
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0); cout.tie(0);
	freopen("in","r", stdin);
    cin >> T;
    while (T--) {
        cin >> s;
        if ((int)s.length() == 1) {
            cout << "YES" << endl;
            for (char c = 'a'; c <= 'z'; c++) cout << c;
            cout << endl;
            continue;
        }
        for (int i = 0; i < (int)s.length() - 1; i++)
            g[s[i] - 'a' + 1][s[i + 1] - 'a' + 1] = g[s[i + 1] - 'a' + 1][s[i] - 'a' + 1] = 1;
        for (int i = 1; i <= 26; i++) {
            for (int j = i + 1; j <= 26; j++) {
                if (g[i][j]) {
                    deg[i]++;
                    deg[j]++;
                }
            }
        }
        bool flag = 0;
        for (int i = 1; i <= 26; i++)
            flag |= (deg[i] > 2);
        string ans = "";
        bool sign = 0;
        for (int i = 1; i <= 26; i++) {
            if (deg[i] == 1 && (!vis[i])) {
                sign = true;
                dfs(i, ans);
            }
        }
        if (flag || (!sign))
            cout << "NO" << endl;
        else {
            cout << "YES" << endl;
            for (char c = 'a'; c <= 'z'; c++) {
                if (!vis[c - 'a' + 1])
                    ans += c;
            }
            cout << ans << endl;
        }
        memset(g, 0, sizeof(g));
        memset(deg, 0, sizeof(deg));
        memset(vis, 0, sizeof(vis));
    }
	return 0;
}