浅谈高中生物”碱基对确定，求DNA最多种数”问题

前言

这个问题在高中生物中，并不会研究的那么深刻。

所以正式做题时还是应该按照老师的教导，避开这个“雷区”。

1.问题发现

在高中生物-遗传与进化-基因的本质学习中，有一个十分经典的问题。

即：给定碱基对数n，不限定每种碱基(A,C,G,T)的个数，求出最多的DNA种数。

在所有的教材，辅导书，以及老师的授课过程中，对于这个问题的答案，一般都是$4^{n}$或者$\frac {4^n} {2}$。

对于$4^n$的思路，即每个位置有$4$种碱基对可能，一共有$n$组，根据乘法原理，故为$4^{n}$。

对于$\frac {4^n} {2}$的思路，即在上一种思路的基础上，考虑到有重复的情况，便除了个2​。

但是，@thorn,@opethrax以及本人的对于这些答案深感怀疑，于是我们便手算了当碱基对数为$2$时的所有情况。

利用计算机程序进行打表，以及查询有关$DNA$的资料后，最终我们确定当n=2时，结果理应为10​。

这个答案都不能用上面的公式解答，于是我们继续思考探索。

2.深入探究

通过@opethrax同学辛苦的打表，观察，他发现存在一些情况被忽略。

原先我们认为，一个$DNA$分子拥有$3'$与$5'$段，$3$代表三号碳，$5$代表五号碳。

如下图，从两条链的$3'$端分别扫描，一种序列最多被统计到$2$次。

一个是AGCTA​，另一种是TAGCT。

但是，存在一种$DNA$分子，从其两条链的$3'$端分别扫描，结果相同。

如下图：

都为TCGATCGA。

所以这种情况下，具有这种性质的$DNA$会被少统计一次。

且我们不难发现，满足这种性质当且仅当$DNA$链的长度为偶数（如图一，若为奇数，会出现不对称的情况，即不满足这种性质）。

那么我们分类讨论，之前那个$\frac {4^n} {2}$的公式，可以在n​为奇数时使用。

对于n​为偶数的情况，我们要在原公式的基础上，加上少统计的个数。

现在的问题，即是寻找拥有这种特殊性质的链的个数。

不难发现，一条链的$3'$端的$1$号碱基到该链的第$\frac n 2$号碱基，如果和另一条链的$3'$端的$1$号碱基到该链的第$\frac n 2$号碱基相同，剩下的部分通过碱基互补配对原则，可以保证相同。

下图黑的部分是我们自己确定的一条排列，红色部分是根据碱基互补配对原则形成的。

我们可以把这个理解为一种中心对称。

所以我们只需要构造出一条链中一半的排列，然后按照中心对称放到另一条链的$3'$端，剩下那条按照碱基互补配对原则填充即可满足这种性质。

所以我们不难得出，这种情况下，会有$4^{\frac {n}{2}}$条链会被少统计一次。

至此，我们可以得出公式：

$$a_n=\begin{cases}\frac{4^n}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ n=2k+1\\\frac{4^n+4^{\frac{n}{2}}}{2}\ n=2k\ \ (k\in N^*)\end{cases}$$

这个式子经过打表以及oeis.org的确认，结果正确。

3.声明与感谢

其实$DNA$的结构远比人类脑海中想象的要复杂的多，这里我们只是讨论了理论下的情况。

感谢您的阅读。若您存在任何疑问，或觉得我们有些地方存在纰漏，欢迎您联系我们，我们十分乐意与您探讨。

再次感谢两位同学@thorn,@opethrax深夜的探讨与陪伴，若没有他们的帮助，我们很难单独进行下去。

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他们两位有关这个内容的博客写的都非常优秀，建议您去访问他们的博客以进行更多的了解。

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4.深夜随想

造物主强大的力量是人们无法想象到的。人类很难走到没有任何疑惑的那一天。

每一个个体脑中冒出的新奇想法，或提出的一个问题，都有可能成为筑起人类从无知到有知的桥梁下的一粒石子。

对科学的探索，不是浅尝辄止，而是无穷无尽。

献上一首不错的音乐：

“生于此处却不知此处

日光倾城，万物生长，又是为何

若没有大地的拥抱，我们早已消失于茫茫宇宙之中

若没有原子之稳定，我们亦不复存在

无人问天地变换，斗转星移，是为何故

宇宙又是源于何处

它是否无始无终

时间若愿意倒流，我们的认知是否还会有局限

世间最渺小之物又是什么

滚滚长江，却只留有过去，不知未来

浩淼宇宙，为何我们在此相遇”
——《Moonlight》