浅谈Cauchy不等式

形式

$$\sum_{i=1}^{n}a_i^2 \sum_{i=1}^{n}b_i^2 \geq \sum_{i=1}^{n}a_i^{2}b_i^2$$

等号成立的条件：

$$iff:b_i=0 || \exists k \in \mathbb {R},a_i=k \cdot b_i(i \in \mathbb{N^+})$$

证明

法一：参数配方

思路：巧妙的把常数与方程结合起来，利用性质即可。

证明：

构造函数:

$$f(t)=\sum_{i=1}^{n}b_i^2\cdot t^2-2\sum_{i=1}^{n}a_ib_it+\sum_{i=1}^{n}a_i^2$$

化简函数：

$$f(t)=\sum_{i=1}^{n}b_i^2\cdot t^2-2\sum_{i=1}^{n}a_ib_it+\sum_{i=1}^{n}a_i^2$$

$$=\sum_{i=1}^{n}(b_i^2t^2-2a_ib_it+a_i^2)$$

$$=\sum_{i=1}^{n}(b_i^2t^2+a_i^2-2a_ib_it)$$

$$=\sum_{i=1}^{n}(b_it-a_i)^2$$

所以：

$$f(t) \geq 0$$

$$\Delta t=b^2-4ac$$

$$=4\sum_{i=1}^{n}a_i^2b_i^2-4\times \sum_{i=1}^{n}b_i^2 \times \sum_{i=1}^{n}a_i^2 \leq 0$$

所以：

$$4\sum_{i=1}^{n}a_i^2b_i^2 \leq 4\times \sum_{i=1}^{n}b_i^2 \times \sum_{i=1}^{n}a_i^2$$

$$\sum_{i=1}^{n}a_i^2 \times \sum_{i=1}^{n}b_i^2 \geq \sum_{i=1}^{n}a_i^2b_i^2$$

证毕。

因为：

$$f(t)=\sum_{i=1}^{n}(b_it-a_i)^2$$

令$f(t)=0$，即

$$a_i=b_it$$

此时：

$$f(t)_{min}=0​$$

即：

$$\Delta t \leq 0$$

故等号可取的一个充分条件即为：

$$\exists k \in \mathbb {R},a_i=k \cdot b_i(i \in \mathbb{N^+}）$$

法二：均值不等式证明

思路：运用分析法将原式子化简，使用绝对值三角不等式与均值不等式进行证明。

引用到的均值不等式（证明略）：

$$ab \leq \frac{a^2+b^2}{2}$$

适用条件：

$$a,b \in \mathbb {R^+}$$

等号成立条件：

$$iff:a=b$$

证明：

要证：

$$\sum_{i=1}^{n}a_i^2\sum_{i=1}^{n}b_i^2 \geq \sum_{i=1}^{n}a_i^{2}b_i^2$$

只需证：

$$\sqrt {\sum_{i=1}^{n}a_i^2 \sum_{i=1}^{n}b_i^2} \geq |\sum_{i=1}^{n}a_ib_i|$$

即：

$$|\sum_{i=1}^{n}a_ib_i| \leq \sqrt {\sum_{i=1}^{n}a_i^2 \sum_{i=1}^{n}b_i^2}$$

$$\frac{|\sum_{i=1}^{n}a_ib_i|}{\sqrt {\sum_{i=1}^{n}a_i^2 \sum_{i=1}^{n}b_i^2}}\leq 1$$

由绝对值三角不等式：

$$|a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n| \leq |a_1|+|a_2|+|a_3|+ \cdots + |a_n|$$

可得：

$$|\sum_{i=1}^{n}a_ib_i| \leq \sum_{i=1}^{n}|a_ib_i|$$

所以：

$$\frac{|\sum_{i=1}^{n}a_ib_i|}{\sqrt {\sum_{i=1}^{n}a_i^2 \sum_{i=1}^{n}b_i^2}} \leq \frac{\sum_{i=1}^{n}|a_ib_i|}{\sqrt {\sum_{i=1}^{n}a_i^2 \sum_{i=1}^{n}b_i^2}}$$

又因为：

$$\frac{\sum_{i=1}^{n}|a_ib_i|}{\sqrt {\sum_{i=1}^{n}a_i^2 \sum_{i=1}^{n}b_i^2}}$$

$$=\sum_{i=1}^{n}\frac{|a_i|}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_i^2}}\cdot \frac{|b_i|}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_i^2}}$$

由均值不等式：

$$ab \leq \frac{a^2+b^2}{2}$$

可得：

$$\sum_{i=1}^{n}\frac{|a_i|}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_i^2}}\cdot \frac{|b_i|}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_i^2}}$$

$$\leq \frac{1}{2}\cdot \sum_{i=1}^{n}(\frac{a_i^2}{\sum_{i=1}^{n}a_i^2}+ \frac{b_i^2}{\sum_{i=1}^{n}b_i^2})$$

$$\leq \frac{1}{2}\cdot (\frac{\sum_{i=1}^{n}a_i^2}{\sum_{i=1}^{n}a_i^2}+ \frac{\sum_{i=1}^{n}b_i^2}{\sum_{i=1}^{n}b_i^2})$$

$$\leq \frac{1}{2} \times 2 = 1$$

即：

$$\frac{|\sum_{i=1}^{n}a_ib_i|}{\sqrt {\sum_{i=1}^{n}a_i^2 \sum_{i=1}^{n}b_i^2}}\leq 1$$

上述结论成立，证毕。

法三：n维向量证法

因为：

$$|\vec a \cdot \vec b| = |\vec a|\cdot |\vec b| \cdot cos \theta$$

所以：

$$|\vec a \cdot \vec b| \leq |\vec a|\cdot |\vec b|$$

$$|\vec a \cdot \vec b|^2 \leq |\vec a|^2\cdot |\vec b|^2$$

$\vec a,\vec b$为$n$维向量时，用坐标的形式展开即可证明。

当$\vec a=k\vec b$，即$a$，$b$共线时，等号成立。

申明与感谢

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