乘法逆元(updating)

引子：

对于加法、减法、乘法，进行模运算，都满足交换律和结合律。

对于除法，当创造出了分数，取模则会出现一些意外情况。

由于分数，我们可以把除法转化成乘法的形式。

比如：

$\frac{a}{b}$ $mod p = a*b^{-1}%p$

若$a*x = 1( mod b)$，$a,b$互质，则称$x$为$b$的逆元，记作$b^{-1}$。

求法1：费马小定理

根据费马小定理：若$a$，$p$互质，且$p$为质数，则有$a^{p-1}=1(mod p)$。

我们选取一个合法的$p$，则$x = a^{p-2}(mod p)$。

故可用快速幂处理。

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
using namespace std;
ll n,p;
ll qpow(ll a,ll b){
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1) ans=(ll)(ans*a)%p;
        a=(ll)(a*a)%p;
        b>>=1;
    }
    return ans%p;
}
int main(){
    scanf("%lld %lld",&n,&p);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        printf("%lld\n",qpow(i,p-2)%p);
    return 0;
}

 优化：设$i$的阶乘为$inv[i]$。经过观察，我们发现对于任意$i,j$，$inv[i*j]=(inv[i]*inv[j])\mod p$，故可以利用这个性质，把它当积性函数来筛出来，这样就可以优化时间。