关于二叉树
二叉树作为树的一种,是一种重要的数据结构,也是面试官经常考的东西。昨天看了一下关于树中的面试题,发现二叉树中的面试题比较常见的题型大概有下面几个:创建一颗二叉树(先序,中序,后序)、遍历一颗二叉树(先序,中序,后序和层次遍历)、求二叉树中叶子节点的个数、求二叉树的高度、求二叉树中两个节点的最近公共祖先、打印和为某一值的全部路径、求某一节点是否在一个树中等等。
再详细的说这些面试题之前,不妨先看一下几种常见的二叉树:
完全二叉树:若二叉树的高度是h,除第h层之外,其他(1~h-1)层的节点数都达到了最大个数,并且第h层的节点都连续的集中在最左边。想到点什么没?实际上,完全二叉树和堆联系比较紧密哈~~~
满二叉树:除最后一层外,每一层上的所有节点都有两个子节点,最后一层都是叶子节点。
哈夫曼树:又称为最有数,这是一种带权路径长度最短的树。哈夫曼编码就是哈夫曼树的应用。
平衡二叉树:所谓平衡二叉树指的是,左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1。
红黑树:红黑树是每个节点都带颜色的树,节点颜色或是红色或是黑色,红黑树是一种查找树。红黑树有一个重要的性质,从根节点到叶子节点的最长的路径不多于最短的路径的长度的两倍。对于红黑树,插入,删除,查找的复杂度都是O(log N)。
二叉树中的那些面试题
再具体说二叉树中的那些面试题之前,我们先看一下二叉树中的每个节点是什么样的,以及为了完成这些面试题,二叉树中声明的函数原型是什么样的:
二叉树的节点:BinTreeNode
1 //二叉树的节点类 2 class BinTreeNode 3 { 4 private: 5 int data; 6 BinTreeNode *left,*right; 7 public: 8 //利用初始化列表完成data,left,rightn的初始化 9 BinTreeNode(const int &item,BinTreeNode *lPtr = NULL,BinTreeNode *rPtr = NULL):data(item) ,left(lPtr),right(rPtr){}; 10 void set_data(int item) 11 { 12 data = item; 13 } 14 int get_data()const 15 { 16 return data; 17 } 18 void set_left(BinTreeNode *l) 19 { 20 left = l; 21 } 22 BinTreeNode* get_left()const 23 { 24 return left; 25 } 26 void set_right(BinTreeNode *r) 27 { 28 right = r; 29 } 30 BinTreeNode* get_right()const 31 { 32 return right; 33 } 34 };
二叉树原型:BinTree,其中包含了这篇文章中要完成的函数原型的完整声明。
1 //二叉树 2 class BinTree 3 { 4 private: 5 BinTreeNode *root; 6 public: 7 BinTree(BinTreeNode *t = NULL):root(t){}; 8 ~BinTree(){delete root;}; 9 void set_root(BinTreeNode *t) 10 { 11 root = t; 12 } 13 BinTreeNode* get_root()const 14 { 15 return root; 16 } 17 //1.创建二叉树 18 BinTreeNode* create_tree(); 19 //2.前序遍历 20 void pre_order(BinTreeNode *r)const; 21 //3.中序遍历 22 void in_order(BinTreeNode *r)const; 23 //4.后序遍历 24 void post_order(BinTreeNode *r)const; 25 //5.层次遍历 26 void level_order(BinTreeNode *r)const; 27 //6.获得叶子节点的个数 28 int get_leaf_num(BinTreeNode *r)const; 29 //7.获得二叉树的高度 30 int get_tree_height(BinTreeNode *r)const; 31 //8.交换二叉树的左右儿子 32 void swap_left_right(BinTreeNode *r); 33 //9.求两个节点pNode1和pNode2在以r为树根的树中的最近公共祖先 34 BinTreeNode* get_nearest_common_father(BinTreeNode *r,BinTreeNode *pNode1,BinTreeNode *pNode2)const; 35 //10.打印和为某一值的所有路径 36 void print_rout(BinTreeNode *r,int sum)const; 37 //11.判断一个节点t是否在以r为根的子树中 38 bool is_in_tree(BinTreeNode *r,BinTreeNode *t)const; 39 };
2.1 创建一颗二叉树
创建一颗二叉树,可以创建先序二叉树,中序二叉树,后序二叉树。我们在创建的时候为了方便,不妨用‘#’表示空节点,这时如果先序序列是:6 4 2 3 # # # # 5 1 # # 7 # #,那么创建的二叉树如下:
下面是创建二叉树的完整代码:穿件一颗二叉树,返回二叉树的根。
1 //创建二叉树,这里不妨使用前序创建二叉树,遇到‘#’表示节点为空 2 BinTreeNode* BinTree::create_tree() 3 { 4 char item; 5 BinTreeNode *t,*t_l,*t_r; 6 cin>>item; 7 if(item != '#') 8 { 9 BinTreeNode *pTmpNode = new BinTreeNode(item-48); 10 t = pTmpNode; 11 t_l = create_tree(); 12 t->set_left(t_l); 13 t_r = create_tree(); 14 t->set_right(t_r); 15 return t; 16 } 17 else 18 { 19 t = NULL; 20 return t; 21 } 22 }
2.2 二叉树的遍历
二叉树的遍历分为:先序遍历,中序遍历和后序遍历,这三种遍历的写法是很相似的,利用递归程序完成也是灰常简单的:
1 //前序遍历 2 void BinTree::pre_order(BinTreeNode *r)const 3 { 4 BinTreeNode *pTmpNode = r; 5 if(pTmpNode != NULL) 6 { 7 cout<<pTmpNode->get_data()<<" "; 8 pre_order(pTmpNode->get_left()); 9 pre_order(pTmpNode->get_right()); 10 } 11 } 12 //中序遍历 13 void BinTree::in_order(BinTreeNode *r)const 14 { 15 BinTreeNode *pTmpNode = r; 16 if(pTmpNode != NULL) 17 { 18 in_order(pTmpNode->get_left()); 19 cout<<pTmpNode->get_data()<<" "; 20 in_order(pTmpNode->get_right()); 21 } 22 } 23 //后序遍历 24 void BinTree::post_order(BinTreeNode *r)const 25 { 26 BinTreeNode *pTmpNode = r; 27 if(pTmpNode != NULL) 28 { 29 post_order(pTmpNode->get_left()); 30 post_order(pTmpNode->get_right()); 31 cout<<pTmpNode->get_data()<<" "; 32 } 33 }
2.3 层次遍历
层次遍历也是二叉树遍历的一种方式,二叉树的层次遍历更像是一种广度优先搜索(BFS)。因此二叉树的层次遍历利用队列来完成是最好不过啦,当然不是说利用别的数据结构不能完成。
1 //层次遍历 2 void BinTree::level_order(BinTreeNode *r)const 3 { 4 if(r == NULL) 5 return; 6 deque<BinTreeNode*> q; 7 q.push_back(r); 8 while(!q.empty()) 9 { 10 BinTreeNode *pTmpNode = q.front(); 11 cout<<pTmpNode->get_data()<<" "; 12 q.pop_front(); 13 if(pTmpNode->get_left() != NULL) 14 { 15 q.push_back(pTmpNode->get_left()); 16 } 17 if(pTmpNode->get_right() != NULL) 18 { 19 q.push_back(pTmpNode->get_right()); 20 } 21 } 22 }
2.4 求二叉树中叶子节点的个数
树中的叶子节点的个数 = 左子树中叶子节点的个数 + 右子树中叶子节点的个数。利用递归代码也是相当的简单,易懂。
1 //获取叶子节点的个数 2 int BinTree::get_leaf_num(BinTreeNode *r)const 3 { 4 if(r == NULL)//该节点是空节点,比如建树时候用'#'表示 5 { 6 return 0; 7 } 8 if(r->get_left()==NULL && r->get_right()==NULL)//该节点并不是空的,但是没有孩子节点 9 { 10 return 1; 11 } 12 //递归整个树的叶子节点个数 = 左子树叶子节点的个数 + 右子树叶子节点的个数 13 return get_leaf_num(r->get_left()) + get_leaf_num(r->get_right()); 14 }
2.5 求二叉树的高度
求二叉树的高度也是非常简单,不用多说:树的高度 = max(左子树的高度,右子树的高度) + 1 。
1 //获得二叉树的高度 2 int BinTree::get_tree_height(BinTreeNode *r)const 3 { 4 if(r == NULL)//节点本身为空 5 { 6 return 0; 7 } 8 if(r->get_left()==NULL && r->get_right()==NULL)//叶子节点 9 { 10 return 1; 11 } 12 int l_height = get_tree_height(r->get_left()); 13 int r_height = get_tree_height(r->get_right()); 14 return l_height >= r_height ? l_height + 1 : r_height + 1; 15 }
2.6 交换二叉树的左右儿子
交换二叉树的左右儿子,可以先交换根节点的左右儿子节点,然后递归以左右儿子节点为根节点继续进行交换。树中的操作有先天的递归性。。
1 //交换二叉树的左右儿子 2 void BinTree::swap_left_right(BinTreeNode *r) 3 { 4 if(r == NULL) 5 { 6 return; 7 } 8 BinTreeNode *pTmpNode = r->get_left(); 9 r->set_left(r->get_right()); 10 r->set_right(pTmpNode); 11 swap_left_right(r->get_left()); 12 swap_left_right(r->get_right()); 13 }
2.7 判断一个节点是否在一颗子树中
可以和当前根节点相等,也可以在左子树或者右子树中。
1 //判断一个节点t是否在以r为根的子树中 2 bool BinTree::is_in_tree(BinTreeNode *r,BinTreeNode *t)const 3 { 4 if(r == NULL) 5 { 6 return false; 7 } 8 else if(r == t) 9 { 10 return true; 11 } 12 else 13 { 14 bool has = false; 15 if(r->get_left() != NULL) 16 { 17 has = is_in_tree(r->get_left(),t); 18 } 19 if(!has && r->get_right()!= NULL) 20 { 21 has = is_in_tree(r->get_right(),t); 22 } 23 return has; 24 } 25 }
2.8 求两个节点的最近公共祖先
求两个节点的公共祖先可以用到上面的:判断一个节点是否在一颗子树中。(1)如果两个节点同时在根节点的右子树中,则最近公共祖先一定在根节点的右子树中。(2)如果两个节点同时在根节点的左子树中,则最近公共祖先一定在根节点的左子树中。(3)如果两个节点一个在根节点的右子树中,一个在根节点的左子树中,则最近公共祖先一定是根节点。当然,要注意的是:可能一个节点pNode1在以另一个节点pNode2为根的子树中,这时pNode2就是这两个节点的最近公共祖先了。显然这也是一个递归的过程啦:
1 //求两个节点的最近公共祖先 2 BinTreeNode* BinTree::get_nearest_common_father(BinTreeNode *r,BinTreeNode *pNode1,BinTreeNode *pNode2)const 3 { 4 //pNode2在以pNode1为根的子树中(每次递归都要判断,放在这里不是很好。) 5 if(is_in_tree(pNode1,pNode2)) 6 { 7 return pNode1; 8 } 9 //pNode1在以pNode2为根的子树中 10 if(is_in_tree(pNode2,pNode1)) 11 { 12 return pNode2; 13 } 14 bool one_in_left,one_in_right,another_in_left,another_in_right; 15 one_in_left = is_in_tree(r->get_left(),pNode1); 16 another_in_right = is_in_tree(r->get_right(),pNode2); 17 another_in_left = is_in_tree(r->get_left(),pNode2); 18 one_in_right = is_in_tree(r->get_right(),pNode1); 19 if((one_in_left && another_in_right) || (one_in_right && another_in_left)) 20 { 21 return r; 22 } 23 else if(one_in_left && another_in_left) 24 { 25 return get_nearest_common_father(r->get_left(),pNode1,pNode2); 26 } 27 else if(one_in_right && another_in_right) 28 { 29 return get_nearest_common_father(r->get_right(),pNode1,pNode2); 30 } 31 else 32 { 33 return NULL; 34 } 35 }
可以看到这种做法,进行了大量的重复搜素,其实有另外一种做法,那就是存储找到这两个节点的过程中经过的所有节点到两个容器中,然后遍历这两个容器,第一个不同的节点的父节点就是我们要找的节点啦。 实际上这还是采用了空间换时间的方法。
2.9 从根节点开始找到所有路径,使得路径上的节点值和为某一数值(路径不一定以叶子节点结束)
这道题要找到所有的路径,显然是用深度优先搜索(DFS)啦。但是我们发现DFS所用的栈和输出路径所用的栈应该不是一个栈,栈中的数据是相反的。看看代码:注意使用的两个栈。
1 //注意这两个栈的使用 2 stack<BinTreeNode *>dfs_s; 3 stack<BinTreeNode *>print_s; 4 //打印出从r开始的和为sum的所有路径 5 void BinTree::print_rout(BinTreeNode *r,int sum)const 6 { 7 if(r == NULL) 8 { 9 return; 10 } 11 //入栈 12 sum -= r->get_data(); 13 dfs_s.push(r); 14 if(sum <= 0) 15 { 16 if(sum == 0) 17 { 18 while(!dfs_s.empty()) 19 { 20 print_s.push(dfs_s.top()); 21 dfs_s.pop(); 22 } 23 while(!print_s.empty()) 24 { 25 cout<<print_s.top()->get_data()<<" "; 26 dfs_s.push(print_s.top()); 27 print_s.pop(); 28 } 29 cout<<endl; 30 } 31 sum += r->get_data(); 32 dfs_s.pop(); 33 return; 34 } 35 //递归进入左子树 36 print_rout(r->get_left(),sum); 37 //递归进入右子树 38 print_rout(r->get_right(),sum); 39 //出栈 40 sum += r->get_data(); 41 dfs_s.pop(); 42 }
最后,给出一点测试代码:
1 int main() 2 { 3 BinTree tree; 4 /*--------------------------------------------------------------------------*/ 5 cout<<"请输入二叉树前序序列进行建树,'#'代表空节点:"<<endl; 6 tree.set_root(tree.create_tree()); 7 cout<<endl; 8 /*--------------------------------------------------------------------------*/ 9 cout<<"前序遍历的结果:"; 10 tree.pre_order(tree.get_root()); 11 cout<<endl<<endl; 12 /*--------------------------------------------------------------------------*/ 13 cout<<"中序遍历的结果:"; 14 tree.in_order(tree.get_root()); 15 cout<<endl<<endl; 16 /*--------------------------------------------------------------------------*/ 17 cout<<"后序遍历的结果:"; 18 tree.post_order(tree.get_root()); 19 cout<<endl<<endl; 20 /*--------------------------------------------------------------------------*/ 21 cout<<"层次遍历的结果:"; 22 tree.level_order(tree.get_root()); 23 cout<<endl<<endl; 24 /*--------------------------------------------------------------------------*/ 25 cout<<"该二叉树叶子节点的个数:"; 26 cout<<tree.get_leaf_num(tree.get_root())<<endl<<endl; 27 /*--------------------------------------------------------------------------*/ 28 cout<<"该二叉树的高度是:"; 29 cout<<tree.get_tree_height(tree.get_root())<<endl<<endl; 30 /*--------------------------------------------------------------------------*/ 31 tree.swap_left_right(tree.get_root()); 32 cout<<"交换左右子树之后的先序遍历结果为:"; 33 tree.pre_order(tree.get_root()); 34 cout<<endl<<endl; 35 /*--------------------------------------------------------------------------*/ 36 BinTreeNode *p1 = tree.get_root()->get_left()->get_right(); 37 BinTreeNode *p2 = tree.get_root()->get_left()->get_left(); 38 BinTreeNode *p3 = tree.get_root()->get_right()->get_right()->get_right(); 39 cout<<p1->get_data()<<" 和 "<<p2->get_data()<<"的最近公共祖先是:"; 40 BinTreeNode *p = tree.get_nearest_common_father(tree.get_root(),p1,p2); 41 cout<<p->get_data()<<endl; 42 cout<<p1->get_data()<<" 和 "<<p3->get_data()<<"的最近公共祖先是:"; 43 p = tree.get_nearest_common_father(tree.get_root(),p1,p3); 44 cout<<p->get_data()<<endl<<endl; 45 /*--------------------------------------------------------------------------*/ 46 cout<<"路径如下:"<<endl; 47 tree.print_rout(tree.get_root(),12); 48 return 0; 49 }
运行结果:
以上内容,只是本人看过的面试题目的一点总结,可能不够全,可能其中的代码也有很多的错误,可能其中的内容有点水,但是我想对那部分即将参加面试的应届毕业生还是有帮助的。。大神们勿喷~~~