求最长公共子序列（子序列在原串中可以不连续）

1.问题描述：

最长公共子序列也称作最长公共子串(不要求连续)，英文缩写为LCS（Longest Common Subsequence）。其定义是，一个序列 S ，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则 S 称为已知序列的最长公共子序列。

2.用途：

最长公共子序列是一个十分实用的问题，它可以描述两段文字之间的“相似度”，即它们的雷同程度，从而能够用来辨别抄袭。对一段文字进行修改之后，计算改动前后文字的最长公共子序列，将除此子序列外的部分提取出来，这种方法判断修改的部分，往往十分准确。简而言之，百度知道、百度百科都用得上。

3.动态规划解法：

动态规划的方法求序列X,Y的最长公共子序列

以两个序列 X、Y 为例子： 设有二维数组 f[i][j] 表示 X 的 i 位和 Y 的 j 位之前的最长公共子序列的长度，则有：

f[1][1] = same(1,1);

f[i][j] = max{f[i-1][j -1] + same(i,j),f[i-1,j],f[i,j-1]}

其中，same(a,b)当 X 的第 a 位与 Y 的第 b 位完全相同时为“1”，否则为“0”。

最后f[lenX][lenY]即为最长公共子序列的值。

该算法的空间、时间复杂度均为O(n^2)，经过优化后，空间复杂度可为O(n)。

4.代码实现：

#include <cstdlib> 　　

#include <iostream> 　　

using namespace std; 　　

#define N 105 　　

int dp[N+1][N+1] ; 　　

char str1[N] , str2[N]; 　　

 

int maxx(int a , int b) 　　

{ 　　

　　if(a > b) 　　

　　　　return a ;

　　return b ; 　　

} 　　

 

int LCSL(int len1 , int len2) 　　

{ 　　

　　int i , j ; 　　

　　int len = maxx(len1 , len2); 　　

　　for( i = 0 ; i <= len; i++ ) 　　

　　{ 　　

　　　　dp[i][0] = 0 ;dp[0][i] = 0 ; 　　

　　} 　　

　　for( i = 1 ; i<= len1 ; i++) 　　

　　{

　　　　for( j = 1 ; j <= len2 ; j++) 　　

　　　　{ 　　

　　　　　　if(str1[i - 1] == str2[j - 1]) 　　

　　　　　　{ 　　

　　　　　　　　dp[i][j] = dp[i - 1][ j - 1] + 1 ; 　　

　　　　　　} 　　

　　　　　　else 　　

　　　　　　{ 　　

　　　　　　　　dp[i][j] = maxx(dp[i - 1][ j ] , dp[i][j - 1]) ; 　　

　　　　　　} 　　

　　　　}

　　}　　

　　return dp[len1][len2]; 　　

} 　　

int main() 　　

{ 　　

　　while(cin >> str1 >> str2) 　　

　　{ 　　

　　　　int len1 = strlen(str1) ; 　　

　　　　int len2 = strlen(str2) ; 　　

　　　　cout<<LCSL(len1 , len2)<<endl; 　　

　　} 　　

　　return 0; 　　

}

内容来自百度百科