简单期望题杂烩

$FromHere：$ $xzy$ 的概率期望题单
大部分内容参考题解区。

推荐阅读 $Link$

OI-wiki 随机变量的期望、方差等数字特征

OI-wiki 概率 DP

概率期望 DP 题解合集

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一点结论和 $Trick$（ ？

• 某事件发生概率为 $p$ ，则该事件首次发生的期望次数为 $\frac{1}{p}$ 。这里是证明。

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$\text{这里大概都是绿题}$

P5104 红包发红包

简单来说，第 $k$ 个人期望获得的钱为他可以得到的钱的平均值。即第 $k$ 个人期望拿到的钱为 $\frac{w}{2^k}$。

P6154 游走

$ans=\frac{len}{cnt}$，其中 $lenth$ 为所有路径长度的总和，$cnt$ 为路径总数，记忆化搜索实现。

P1297 [国家集训队]单选错位

$$ans=\frac{min(a[i],a[i-1])}{a[i]\times a[i-1]}=\frac{1}{max(a[i],a[i-1])}$$

SP1026 FAVDICE - Favorite Dice

经典的赠券收集问题。

• $Solution1:$

$$\begin{array}{rl}f[i]& =\frac{i}{n}f[i]+\frac{n-i}{n}f[i+1]+1\\ & =f[i+1]+\frac{n}{n-i}\end{array}$$

• $Solution2:$
  得到新数字的概率为 $\frac{n-i+1}{n}$， 期望得到新数字次数为 $\frac{n}{n-i+1}$ ，则有 $ans=\sum _{i=1}^n\frac{n}{n-i+1}=\sum _{i=1}^n\frac{n}{i}$

三倍经验：P1291 $\mathrm{\&}$ UVA10288，注意毒瘤格式。

变式：P4550 收集邮票

$f[i]$ 表示现在已经收集到了 $i$ 张邮票，要收集完剩下邮票的期望次数。
$g[i]$ 表示现在已经收集到了 $i$ 张邮票，要收集完剩下邮票的期望价格。

$$\begin{array}{rl}g[i]& =\frac{i}{n}\times (f[i]+g[i]+1)+\frac{n-i}{n}\times (f[i+1]+g[i+1]+1)\\ & =\frac{i}{n-i}\times f[i]+g[i+1]+f[i+1]+\frac{n}{n-i}\end{array}$$

CF1042E Vasya and Magic Matrix

这次很接近正解了。

$$\begin{array}{rl}{f}_i& =\frac{1}{tot}\sum _{a_i>a_j}(x_i-x_j{)}^2+(y_i-y_j{)}^2+f_j;\\ & =\frac{1}{tot}\sum _{a_i>a_j}{x}_i^2+x_j^2-2x_i{x}_j+y_i^2+y_j^2-2y_i{y}_j+f_j\\ & =\frac{1}{tot}\sum _{a_i>a_j}{x}_i^2+x_j^2+y_i^2+y_j^2-2(x_i{x}_j+y_i{y}_j)\end{array}$$

P4316 绿豆蛙的归宿

$$\begin{array}{rl}\mathrm{逆}：f[u]& =\frac{\sum _{i=1}^{outd[u]}(f[to]+w[i])}{outd[u]}\\ \mathrm{正}：f[to]& =\frac{\sum _{i=1}^{outd[to]}(f[u]+w[i]\times p[i]])}{outd[u]}\end{array}$$

通过拓扑排序转移。

P3802 小魔女帕琪

看看这里。

$$ans=7!\times \frac{a_1}{N}\times \frac{a_2}{N-1}\times \frac{a_3}{N-2}\times \frac{a_4}{N-3}\times \frac{a_5}{N-4}\times \frac{a_6}{N-5}\times a_7$$

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$\text{这里大概都是蓝题}$

P1850 [NOIP2016 提高组] 换教室

$Floyd+dp$

写了几题但是不想动了，遂咕咕。

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$\text{这里大概都是紫题}$

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$\text{这里大概不会有题}$