左偏树(可并堆)

左偏树(可并堆)

左偏树与配对堆一样，是一种可并堆，具有堆的性质，并且可以快速合并。一种$O({\log }_{2}n)$内合并的数据结构。

左偏树是一棵二叉树，它不仅具有堆的性质，并且是「左偏」的：每个节点左儿子的 $dist$ 都大于等于右儿子的 $dist$。

一些定义

• 外节点：左儿子或右儿子为空的节点

• 距离：一个结点 $x$ 的距离 $dis{t}_x$ 定义为其子树中与结点 $x$ 最近的外结点到 $x$ 的距离。特别地，定义空结点的距离为 $-1$ 。

性质

• 左偏：左偏树每个节点的 $dist$ 都等于其右儿子的 $dist$ 加一。

• 堆：满足小根堆性质。

操作

• 合并
  merge(x,y)：合并两棵以 $x,y$ 为根的左偏树，返回合并之后的根节点。
  • 若$va{l}_x<va{l}_y$，以 $x$ 为合并后的根节点。
  • 将 $y$ 与 $x$ 的其中一个儿子合并，合并后的根节点代替与 $y$ 合并的儿子的位置，返回 $x$。
  • 重复。若 $x,y$ 中有一个为空节点，返回 $x+y$。

复杂度$O(h)$。进行优化：
由于左偏树中左儿子的距离大于右儿子的距离，每次将 $y$ 与 $x$ 的右儿子进行合并。
合并完成之后，判断节点 $x$ 是否有 $dis{t}_{lc}>dis{t}_{rc}$，若没有则交换左右儿子并维护 $x$ 的距离 $dis{t}_{lc}=dis{t}_{rc}+1$。

• 插入 ：新建节点，与左偏树合并

• $Min$ ：根节点。

• 删$Min$ ：删根节点，合并左右儿子。

• 求给定节点所在左偏树的根节点 ：记录父亲节点，暴力跳。

使用并查集，并路径压缩。

P3377 【模板】左偏树（可并堆）

$Code$

#include<bits/stdc++.h>
#define cs const
#define ri register
using namespace std;typedef int I;const I inf=0x3f3f3f3f;typedef long long LL;I FL,CH;template<typename T>bool in(T&a){for(FL=1;!isdigit(CH)&&CH!=EOF;CH=getchar())if(CH=='-')FL=-1;for(a=0;isdigit(CH);CH=getchar())a=a*10+CH-'0';return a*=FL,CH==EOF?0:1;}template<typename T,typename...Args>I in(T&a,Args&...args){return in(a)+in(args...);}
cs int N=1e5+7;
int n,m,ls[N],rs[N],dist[N],rt[N];
bool mk[N];
struct node{
	int id,v;
	bool operator<(node x)const{return v==x.v?id<x.id:v<x.v;}
}t[N];
int Find(cs int x){return rt[x]==x?x:rt[x]=Find(rt[x]);}
int Merge(int x,int y)
{
	if((!x)||(!y)) return x+y;
	if(t[y]<t[x]) swap(x,y);
	rs[x]=Merge(rs[x],y);
	if(dist[ls[x]]<dist[rs[x]]) swap(ls[x],rs[x]);
	return dist[x]=dist[rs[x]]+1,x;
}
int main()
{
	dist[0]=-1,in(n,m);
	for(ri int i=1;i<=n;++i) in(t[i].v),rt[i]=t[i].id=i;
	while(m--)
	{
		int op,x,y; in(op,x);
		if(op==1)
		{
			in(y); if(mk[x]||mk[y]) continue;
			x=Find(x),y=Find(y);
			if(x!=y) rt[x]=rt[y]=Merge(x,y); 
		}
		else
		{
			if(mk[x]) {puts("-1"); continue; }
			x=Find(x),printf("%d\n",t[x].v),mk[x]=1;
			rt[x]=rt[ls[x]]=rt[rs[x]]=Merge(ls[x],rs[x]);
			ls[x]=rs[x]=dist[x]=0;
		} 
	}
	return 0;
}

参考$blog$

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