【概率论与数理统计】小结8 - 三大抽样分布以及p值的计算
注：抽样分布就是统计量的分布，其特点是不包含未知参数且尽可能多的概括了样本信息。除了常见的正态分布之外，还有卡方分布、t分布和F分布为最常见的描述抽样分布的分布函数。这几个分布函数在数理统计中也非常有名。我们常说的卡方检验、t检验和F检验就跟这三个分布有关。下面分别从定义、性质、函数图像和分位数等方面介绍三大分布。
0. 分位点/分位数（Fractile）
分位数是一个非常重要的概念，一开始也有点难理解。首先要明确一点，分位数分的是面积。更准确的说，分位数分的是某个特定分布的概率密度函数曲线下的面积。每给定一个分位数，这个概率密度函数曲线就被该点一分为二。
在英语中，表示分位数的有两个词，它们的区别如下：
As nouns the difference between fractile and quantile is that fractile is (statistics) the value of a distribution for which some fraction of the sample lies below while quantile is (statistics) one of the class of values of a variate which divides the members of a batch or sample into equal-sized subgroups of adjacent values or a probability distribution into distributions of equal probability.
摘自，https://wikidiff.com/fractile/quantile
因此，从上面的描述可以看出来这里所说的分位点是指fractile。其实还有一个词，percentile，这个词好像用的更多。
四分位数（Quartiles）
四分位数是平时用的比较多的概念，属于quantile的一种。对于一组数据来说，四分位数就是将这组数据排序后，均分为4部分的3个分割点位置的数值。例如1， 3， 5， 7， 9， 11，其3个四分位点分别是3，6，9。分别叫做第一四分位数（Q1），第二四分位数（Q2），第三四分位数（Q3）。
对于概率密度函数来说，四分位点就是将概率密度曲线下的面积均分为4部分的点。
上$\alpha$分位数（Upper Percentile）
上$\alpha$分位数是概率密度函数定义域内的一个数值，这个数值将概率密度函数曲线下的面积沿x轴分成了两个部分，其中该点右侧部分概率密度函数曲线与x轴围成的面积等于$\alpha$。
图1，某分布的上$\alpha$分位数，$x_{\alpha}$
由于概率密度函数曲线下的面积就是概率，因此上$\alpha$分位数中的$\alpha$就是该点右侧区域的面积（图1红色区域），也是在这个分布中取到所有大于该点的值的概率。在假设检验中这个概率就是我们通常说的P值。
参考图1，$P(X \geq x_{\alpha}) = \alpha$
此时有两个值，一个是$\alpha$，另一个是$x_{\alpha}$。这两个值中确定其中一个，另一个值也就确定了。因此我们可以通过一个给定的$\alpha$值，求在某个特定分布中的上$\alpha$分位数，即$x_{\alpha}$，的值；也可以在某个特定分布中，任意给定一个定义域内的点$x_1$，求取到比该点的值更大的值的概率，即$P(X \geq x_1)$的值。
1. 卡方分布（$\chi^2$）
从其名称中可以看到，卡方分布跟平方有关。事实也是这样，卡方分布是由服从标准正态分布的随机变量的平方和组成的。
1.1 定义
设随机变量 $X_1, X_2, ..., X_n$ 相互独立，都服从 $N(0, 1)$，则称
$$\chi^2 = \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n } X_i^2$$
服从自由度为n的$\chi^2$分布，记为$\chi^2 \sim \chi^2(n)$
自由度是指上式右端包含的独立变量的个数。
1.2 性质
设 $\chi^2 \sim \chi^2(n)$，则
- $E(\chi^2) = n$，$D(\chi^2) = 2n$；
- $\chi^2$分布的可加性：设$Y_1 \sim \chi^2(n_1), Y_2 \sim \chi^2(n_2)$，且$Y_1, Y_2$相互独立，则 $Y_1 + Y_2 \sim \chi^2(n_1 + n_2)$。该性质可以推广到有限个随机变量的情形，设 $Y_1, ..., Y_m$ 相互独立，$Y_i \sim \chi^2(n_i)$，则$\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ m } Y_i = \chi^2(\displaystyle \sum_{ i = 1}^{m} n_i)$
1.3 函数图像
卡方分布的概率密度曲线如下：
图2，卡方分布$\chi^2(20)$的PDF图
Python实现代码如下：
参考：https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.chi2.html#scipy.stats.chi2
1 def chi2_distribution(df=1): 2 """ 3 卡方分布，在实际的定义中只有一个参数df，即定义中的n 4 :param df: 自由度，也就是该分布中独立变量的个数 5 :return: 6 """ 7 8 fig, ax = plt.subplots(1, 1) 9 10 # 直接传入参数, Display the probability density function (pdf) 11 x = np.linspace(stats.chi2.ppf(0.001, df), 12 stats.chi2.ppf(0.999, df), 200) 13 ax.plot(x, stats.chi2.pdf(x, df), 'r-', 14 lw=5, alpha=0.6, label=r'$\chi^2$ pdf') 15 16 # 从冻结的均匀分布取值, Freeze the distribution and display the frozen pdf 17 chi2_dis = stats.chi2(df=df) 18 ax.plot(x, chi2_dis.pdf(x), 'k-', 19 lw=2, label='frozen pdf') 20 21 # 计算ppf分别等于0.001, 0.5, 0.999时的x值 22 vals = chi2_dis.ppf([0.001, 0.5, 0.999]) 23 print(vals) # [ 2.004 4. 5.996] 24 25 # Check accuracy of cdf and ppf 26 print(np.allclose([0.001, 0.5, 0.999], chi2_dis.cdf(vals))) # Ture 27 28 # Generate random numbers 29 r = chi2_dis.rvs(size=10000) 30 ax.hist(r, normed=True, histtype='stepfilled', alpha=0.2) 31 plt.ylabel('Probability') 32 plt.title(r'PDF of $\chi^2$({})'.format(df)) 33 ax.legend(loc='best', frameon=False) 34 plt.show() 35 36 chi2_distribution(df=20)
其实在scipy对卡方分布的说明中，卡方分布还有其他两个参数，loc和scale，默认情况下，$loc = 0$， $scale = 1$。这时相当于是一个标准化的卡方分布，可以根据loc和scale对函数进行平移和缩放。官方文档是这样描述的：
The probability density above is defined in the “standardized” form. To shift and/or scale the distribution use the loc and scale parameters. Specifically, chi2.pdf(x, df, loc, scale) is identically equivalent to chi2.pdf(y, df) / scale with y = (x - loc) / scale.
不同参数的卡方分布
图3，不同参数下的卡方分布PDF图像
当自由度df等于1或2时，函数图像都呈单调递减的趋势；当df大于等于3时，呈先增后减的趋势。从定义上来看，df的值只能取正整数，但是实际上传入小数也可以做出图像（此时的df不知道该如何解释）。
图3的Python实现代码如下：
1 def diff_chi2_dis(): 2 """ 3 不同参数下的卡方分布 4 :return: 5 """ 6 # chi2_dis_0_5 = stats.chi2(df=0.5) 7 chi2_dis_1 = stats.chi2(df=1) 8 chi2_dis_4 = stats.chi2(df=4) 9 chi2_dis_10 = stats.chi2(df=10) 10 chi2_dis_20 = stats.chi2(df=20) 11 12 # x1 = np.linspace(chi2_dis_0_5.ppf(0.01), chi2_dis_0_5.ppf(0.99), 100) 13 x2 = np.linspace(chi2_dis_1.ppf(0.65), chi2_dis_1.ppf(0.9999999), 100) 14 x3 = np.linspace(chi2_dis_4.ppf(0.000001), chi2_dis_4.ppf(0.999999), 100) 15 x4 = np.linspace(chi2_dis_10.ppf(0.000001), chi2_dis_10.ppf(0.99999), 100) 16 x5 = np.linspace(chi2_dis_20.ppf(0.00000001), chi2_dis_20.ppf(0.9999), 100) 17 fig, ax = plt.subplots(1, 1) 18 # ax.plot(x1, chi2_dis_0_5.pdf(x1), 'b-', lw=2, label=r'df = 0.5') 19 ax.plot(x2, chi2_dis_1.pdf(x2), 'g-', lw=2, label='df = 1') 20 ax.plot(x3, chi2_dis_4.pdf(x3), 'r-', lw=2, label='df = 4') 21 ax.plot(x4, chi2_dis_10.pdf(x4), 'b-', lw=2, label='df = 10') 22 ax.plot(x5, chi2_dis_20.pdf(x5), 'y-', lw=2, label='df = 20') 23 plt.ylabel('Probability') 24 plt.title(r'PDF of $\chi^2$ Distribution') 25 ax.legend(loc='best', frameon=False) 26 plt.show() 27 28 diff_chi2_dis()
1.4 分位数的计算
第一种情况：给定上分位数$x_1$，求概率$P(X \geq x_1)$，这也是用的比较多的情况（在假设检验中计算P值）。按照上分位数的定义，如果要计算比$x_1$更大的取值的概率，只需要计算$1 - cdf(x_1)$就可以得到。
参考图2，我们分别计算在卡方分布$\chi^2(20)$中，$x = 20$以及$x = 40$时对应的$\alpha$值（或P值）。
>>> from scipy import stats >>> 1 - stats.chi2.cdf(20, 20) 0.45792971447185216 >>> 1 - stats.chi2.cdf(40, 20) 0.0049954123083075785
上面的cdf函数有两个参数，第一个位置是$x$的值，第二个位置是$df$的值（degree of freedom，卡方分布的自由度）。从图2中也可以看到，$20$基本上位于卡方分布$\chi^2(20)$的PDF图像中间的位置，该位置右边基本上占了整个PDF的一半；$40$这个值非常靠右，该值右边的面积非常小，计算得出在该分布中只有大约0.5%的值大于40。
由于计算某个分布下特定$x$的$\alpha$值在统计的应用中非常重要，因此有专门的函数来做相关的计算，这个专门的函数在$\alpha$值非常小的情况下（即$x$的值在图像中非常靠右），计算出来的结果比上面的方法更精确。
下面是官方文档的说明：
Survival function (also defined as 1 - cdf, but sf is sometimes more accurate).
>>> stats.chi2.sf(20, 20) 0.45792971447185232 >>> stats.chi2.sf(40, 20) 0.0049954123083075785 >>> stats.chi2.sf(100, 20) 1.2596084591660847e-12 >>> 1 - stats.chi2.cdf(100, 20) 1.2596590437397026e-12 >>> 1 - stats.chi2.cdf(1000, 20) 0.0 >>> stats.chi2.sf(1000, 20) 3.9047966391213445e-199
从上面可以看到，当$x = 1000$时，用第一种方法的精度已经不够用了，但是第二种方法还是可以计算出一个非零的数值。
在介绍分位数时，说过在某个分布中，$x_{\alpha}$与$\alpha$知道其中一个，就可以计算出另一个值来。上面的方法是已知$x_{\alpha}$计算$\alpha$，下面是根据$\alpha$的值，求对应的$x_{\alpha}$，即上$\alpha$分位数。
>>> stats.chi2.isf(0.995, 20) 7.4338442629342243 >>> stats.chi2.isf(0.95, 20) 10.850811394182589 >>> stats.chi2.isf(0.5, 20) 19.337429229428256 >>> stats.chi2.isf(0.05, 20) 31.410432844230929 >>> stats.chi2.isf(0.005, 20) 39.996846312938651
看到0.05这样的值是不是很熟悉？其实这个过程就是我们学统计时查表的过程，通常概率论与数理统计方面的书后面的附表都会有常见分布的"上侧分位点表"。有了Python，我们以后就不需要翻书查表了。
参考这里：https://www.medcalc.org/manual/chi-square-table.php
这里的$\alpha$就相当于假设检验中的$p$值。
图4，统计相关书籍中的附表
2. t分布
t分布的推导最早由大地测量学家Friedrich Robert Helmert于1876年提出，并由数学家Lüroth证明。英国人威廉·戈塞（Willam S. Gosset）于1908年再次发现并发表了t分布，当时他还在爱尔兰都柏林的吉尼斯（Guinness）啤酒酿酒厂工作。酒厂虽然禁止员工发表一切与酿酒研究有关的成果，但允许他在不提到酿酒的前提下，以笔名发表t分布的发现，所以论文使用了“学生”（Student）这一笔名。之后t检验以及相关理论经由罗纳德·费雪（Sir Ronald Aylmer Fisher）发扬光大，为了感谢戈塞的功劳，费雪将此分布命名为学生t分布（Student's t）。
2.1 定义
设$X \sim N(0, 1), Y \sim \chi^2(n)$，且X和Y相互独立，则称随机变量$T = \frac{X} {\sqrt{Y/n}}$服从自由度为n的t分布，记为 $T \sim t(n)$。
- 当n=1的t分布，就是柯西分布
2.2 性质
设$T \sim t(n)$，则
- 当$n > 1$时，$E(T) = 0$，当$n = 1$时，期望不存在（参考柯西分布的期望，link）
- 当$n > 2$时，$D(T) = \frac{n} {n - 2}$，当$n \leq 2$时，方差不存在
2.3 函数图像
图5，t(20)的PDF图像
Python代码如下，更上面的代码差别不大：
参考：https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.t.html
1 import numpy as np 2 from scipy import stats 3 import matplotlib.pyplot as plt 4 # http://user.engineering.uiowa.edu/~dbricker/Stacks_pdf1/Sampling_Distns.pdf 5 # https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.t.html 6 7 8 def t_distribution(df=1.0): 9 """ 10 t分布，在实际的定义中只有一个参数df，即定义中的n 11 :param df: 自由度，也就是该分布包含的卡方分布中独立变量的个数 12 :return: 13 """ 14 15 fig, ax = plt.subplots(1, 1) 16 17 # 直接传入参数, Display the probability density function (pdf) 18 x = np.linspace(stats.t.ppf(0.001, df), 19 stats.t.ppf(0.999, df), 200) 20 ax.plot(x, stats.t.pdf(x, df), 'r-', 21 lw=5, alpha=0.6, label=r't pdf') 22 23 # 从冻结的t分布取值, Freeze the distribution and display the frozen pdf 24 t_dis = stats.t(df=df) 25 ax.plot(x, t_dis.pdf(x), 'k-', 26 lw=2, label='frozen pdf') 27 28 # 计算ppf分别等于0.001, 0.5, 0.999时的x值 29 vals = t_dis.ppf([0.001, 0.5, 0.999]) 30 print(vals) # [ -3.55180834e+00 6.72145055e-17 3.55180834e+00] 31 32 # Check accuracy of cdf and ppf 33 print(np.allclose([0.001, 0.5, 0.999], t_dis.cdf(vals))) # Ture 34 35 # Generate random numbers 36 r = t_dis.rvs(size=10000) 37 ax.hist(r, normed=True, histtype='stepfilled', alpha=0.2) 38 plt.ylabel('Probability') 39 plt.title(r'PDF of t({})'.format(df)) 40 ax.legend(loc='best', frameon=False) 41 plt.show() 42 43 t_distribution(df=20)
图6，不同参数下的t分布
从图6中可以看到，$t(1)$与标准正态分布之间的差别还是比较大的，但是当自由度n趋近于无穷大时，t分布与标准正态分布没有差别（公式上的形式将变得完全相同，这里没有列出概率密度函数的公式）。较大的区别在于，当自由度n较小时，t分布比标准正态分布的尾部更宽（fatter tails），因此也比正态分布更慢的趋近于0。关于这两类分布的异同将会在后面的假设检验部分详细阐述。
Python代码如下：
1 def diff_t_dis(): 2 """ 3 不同参数下的t分布 4 :return: 5 """ 6 norm_dis = stats.norm() 7 t_dis_1 = stats.t(df=1) 8 t_dis_4 = stats.t(df=4) 9 t_dis_10 = stats.t(df=10) 10 t_dis_20 = stats.t(df=20) 11 12 x1 = np.linspace(norm_dis.ppf(0.000001), norm_dis.ppf(0.999999), 1000) 13 x2 = np.linspace(t_dis_1.ppf(0.04), t_dis_1.ppf(0.96), 1000) 14 x3 = np.linspace(t_dis_4.ppf(0.001), t_dis_4.ppf(0.999), 1000) 15 x4 = np.linspace(t_dis_10.ppf(0.001), t_dis_10.ppf(0.999), 1000) 16 x5 = np.linspace(t_dis_20.ppf(0.001), t_dis_20.ppf(0.999), 1000) 17 fig, ax = plt.subplots(1, 1) 18 ax.plot(x1, norm_dis.pdf(x1), 'r-', lw=2, label=r'N(0, 1)') 19 ax.plot(x2, t_dis_1.pdf(x2), 'b-', lw=2, label='t(1)') 20 ax.plot(x3, t_dis_4.pdf(x3), 'g-', lw=2, label='t(4)') 21 ax.plot(x4, t_dis_10.pdf(x4), 'm-', lw=2, label='t(10)') 22 ax.plot(x5, t_dis_20.pdf(x5), 'y-', lw=2, label='t(20)') 23 plt.ylabel('Probability') 24 plt.title(r'PDF of t Distribution') 25 ax.legend(loc='best', frameon=False) 26 plt.show() 27 28 diff_t_dis()
2.4 t分布中上$\alpha$分位数的计算
在Python中的计算方法，参考1.4
3. F分布
F分布由两个卡方分布构成。
3.1 定义
设$X \sim \chi^2(n_1)$，$Y \sim \chi^2(n_2)$，且$X, Y$相互独立，则称随机变量$F = \frac{X/n_1} {Y/n_2}$服从自由度为$(n_1, n_2)$的F分布，记为$F \sim F(n_1, n_2)$。其中$n_1$称为第一自由度，$n_2$称为第二自由度。
3.2 性质
设$F \sim F(n, m)$，则
- $E(F) = \frac{m}{m - 2}$，其中$m \geq 2$，否则期望不存在
- $D(F) = \frac{2m^2(n + m - 2)} {n(m - 2)^2(m - 4)}$，其中$m \geq 4$，否则方差不存在
- $\frac{1} {F} \sim F(m, n)$，即F分布的倒数也是F分布（参数交换）
3.3 函数图像
图7，F(4, 10)的PDF图像
下面是Pyhon实现的代码，图7使用Spyder画出来的图，与上面使用Pycharm画出来的图差别还有点大。
参考：https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.f.html
1 import numpy as np 2 from scipy import stats 3 import matplotlib.pyplot as plt 4 5 6 def f_distribution(dfn=4, dfd=10): 7 """ 8 F分布，有两个参数dfn, dfd，分别表示定义中的n1和n2 9 :param dfn: 第一自由度，分子中卡方分布的自由度 10 :param dfd: 第二自由度，分母中卡方分布的自由度 11 :return: 12 """ 13 14 fig, ax = plt.subplots(1, 1) 15 16 # 直接传入参数, Display the probability density function (pdf) 17 x = np.linspace(stats.f.ppf(0.0001, dfn, dfd), 18 stats.f.ppf(0.999, dfn, dfd), 200) 19 ax.plot(x, stats.f.pdf(x, dfn, dfd), 'r-', 20 lw=5, alpha=0.6, label=r'f pdf') 21 22 # 从冻结的均匀分布取值, Freeze the distribution and display the frozen pdf 23 f_dis = stats.f(dfn=dfn, dfd=dfd) 24 ax.plot(x, f_dis.pdf(x), 'k-', 25 lw=2, label='frozen pdf') 26 27 # 计算ppf分别等于0.001, 0.5, 0.999时的x值 28 vals = f_dis.ppf([0.001, 0.5, 0.999]) 29 print(vals) # [ 0.02081053 0.89881713 11.28275151] 30 31 # Check accuracy of cdf and ppf 32 print(np.allclose([0.001, 0.5, 0.999], f_dis.cdf(vals))) # Ture 33 34 # Generate random numbers 35 r = f_dis.rvs(size=10000) 36 ax.hist(r, normed=True, histtype='stepfilled', alpha=0.2) 37 plt.ylabel('Probability') 38 plt.title(r'PDF of F({}, {})'.format(dfn, dfd)) 39 ax.legend(loc='best', frameon=False) 40 plt.savefig('f_dist_pdf2.png', dip=200) 41 42 f_distribution(dfn=4, dfd=10)
F分布有两个参数，dfn和dfd，分别代表分子上的第一自由度和分母上的第二自由度。
下面是不同参数下，F分布的概率密度函数图像：
图8，不同参数下的F分布
Python实现的代码：
1 def diff_f_dis(): 2 """ 3 不同参数下的F分布 4 :return: 5 """ 6 # f_dis_0_5 = stats.f(dfn=10, dfd=1) 7 f_dis_1_30 = stats.f(dfn=1, dfd=30) 8 f_dis_30_5 = stats.f(dfn=30, dfd=5) 9 f_dis_30_30 = stats.f(dfn=30, dfd=30) 10 f_dis_30_100 = stats.f(dfn=30, dfd=100) 11 f_dis_100_100 = stats.f(dfn=100, dfd=100) 12 13 # x1 = np.linspace(f_dis_0_5.ppf(0.01), f_dis_0_5.ppf(0.99), 100) 14 x2 = np.linspace(f_dis_1_30.ppf(0.2), f_dis_1_30.ppf(0.99), 100) 15 x3 = np.linspace(f_dis_30_5.ppf(0.00001), f_dis_30_5.ppf(0.99), 100) 16 x4 = np.linspace(f_dis_30_30.ppf(0.00001), f_dis_30_30.ppf(0.999), 100) 17 x6 = np.linspace(f_dis_30_100.ppf(0.0001), f_dis_30_100.ppf(0.999), 100) 18 x5 = np.linspace(f_dis_100_100.ppf(0.0001), f_dis_100_100.ppf(0.9999), 100) 19 fig, ax = plt.subplots(1, 1, figsize=(20, 10)) 20 # ax.plot(x1, f_dis_0_5.pdf(x1), 'b-', lw=2, label=r'F(0.5, 0.5)') 21 ax.plot(x2, f_dis_1_30.pdf(x2), 'g-', lw=2, label='F(1, 30)') 22 ax.plot(x3, f_dis_30_5.pdf(x3), 'r-', lw=2, label='F(30, 5)') 23 ax.plot(x4, f_dis_30_30.pdf(x4), 'm-', lw=2, label='F(30, 30)') 24 ax.plot(x6, f_dis_30_100.pdf(x6), 'c-', lw=2, label='F(30, 100)') 25 ax.plot(x5, f_dis_100_100.pdf(x5), 'y-', lw=2, label='F(100, 100)') 26 27 plt.ylabel('Probability') 28 plt.title(r'PDF of f Distribution') 29 ax.legend(loc='best', frameon=False) 30 plt.savefig('f_diff_pdf.png', dip=500) 31 plt.show() 32 33 diff_f_dis()
3.4 分位数的计算
参考1.4
4. 三大抽样分布之间的联系
下面这个例子，可以展示这三大抽样分布于标准正态分布的联系，以及它们自身之间的联系：
$X, Y, Z$相互独立，且都服从$N(0, 1)$分布，那么：
- $X^2 + Y^2 + Z^2 \sim \chi^2(3)$
- $\frac{X} {\sqrt{(Y^2 + Z^2)/2}} \sim t(2)$
- $\frac{2X^2} {Y^2 + Z^2} \sim F(1, 2)$
- 若$t \sim t(n)$，那么$t^2 \sim F(1, n)$
图9，三类抽样分布于标准正态分布之间的比较
从图9可以看到，t分布和标准正态分布都是左右对称的，偏度为0（偏度为0也可能不对称），但是卡方分布和F分布都不对称，呈正偏态（右侧的尾部更长，分布的主体集中在左侧）。
图9的Python代码如下：
1 def three_sampling_dis(): 2 """ 3 三大抽样分布与标准正态分布 4 :return: 5 """ 6 nor_dis = stats.norm() 7 chi2_dis = stats.chi2(df=4) 8 t_dis = stats.t(df=5) 9 f_dis = stats.f(dfn=30, dfd=5) 10 11 x1 = np.linspace(nor_dis.ppf(0.001), nor_dis.ppf(0.999), 1000) 12 x2 = np.linspace(chi2_dis.ppf(0.001), chi2_dis.ppf(0.999), 1000) 13 x3 = np.linspace(t_dis.ppf(0.001), t_dis.ppf(0.999), 1000) 14 x4 = np.linspace(f_dis.ppf(0.001), f_dis.ppf(0.999), 1000) 15 fig, ax = plt.subplots(1, 1, figsize=(16, 8)) 16 ax.plot(x1, nor_dis.pdf(x1), 'r-', lw=2, label=r'N(0, 1)') 17 ax.plot(x2, chi2_dis.pdf(x2), 'g-', lw=2, label=r'$\chi^2$(4)') 18 ax.plot(x3, t_dis.pdf(x3), 'b-', lw=2, label='t(5)') 19 ax.plot(x4, f_dis.pdf(x4), 'm-', lw=2, label='F(30, 10)') 20 21 plt.ylabel('Probability') 22 plt.title(r'PDF of Three Sampling Distribution') 23 ax.legend(loc='best', frameon=False) 24 plt.savefig('diff_dist_pdf.png', dip=500) 25 plt.show() 26 27 three_sampling_dis()
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Reference
http://www.auburn.edu/~zengpen/teaching/table-chisq.pdf
https://en.wikipedia.org/wiki/F-distribution
http://mathworld.wolfram.com/F-Distribution.html
https://math.stackexchange.com/questions/1087106/find-the-mean-and-the-variance-of-an-f-random-variable-with-r-1-and-r-2-degr
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%81%8F%E5%BA%A6
中国大学MOOC：浙江大学&哈工大，概率论与数理统计
修订记录：
9.14, 2020 补充说明上$\alpha$分位数的计算
