【通信原理】第二章|确知信号
前言
那么这里博主先安利一些干货满满的专栏了!
首先是博主的高质量博客的汇总,这个专栏里面的博客,都是博主最最用心写的一部分,干货满满,希望对大家有帮助。
文章目录
第二章 确知信号
1. 确知信号的类型
代表信号电压或者电流的时间波形
s
(
t
)
s(t)
s(t)
s
(
t
)
s(t) \quad
s(t)
信号的能量,单位焦耳。
E
=
∫
−
∞
∞
s
2
(
t
)
d
t
E = \int_{-\infty }^{\infty} s^2(t)\mathrm{d}t
E=∫−∞∞s2(t)dt
如果这个数是一个正的有限值,则信号为能量信号。与此同时,能量信号的平均功率
P
=
0
P=0
P=0。
平均功率定义如下。
P
=
lim
T
→
∞
∫
−
T
/
2
T
/
2
s
2
(
t
)
d
t
P = \lim_{T \to \infty } \int_{-T/2}^{T/2}s^2(t)\mathrm{d}t
P=T→∞lim∫−T/2T/2s2(t)dt
两种信号。
- 能量信号,E为一个有限的正的值,但是平均功率P=0。
- 功率信号,其平均功率时等于一个有限的正值,但是能量为无穷大。
2. 确知信号的频域性质
2.1 功率信号的频谱
功率信号一般认为是周期的。(别管这么多,书上就是这样写的)
令一个周期信号
s
(
t
)
s(t)
s(t)的周期为
T
0
T_0
T0,频谱函数可以定义成以下形式。
C
n
=
C
(
n
f
0
)
=
1
T
0
∫
−
T
0
/
2
T
0
/
2
s
(
t
)
e
−
j
2
π
n
f
0
t
d
t
f
0
=
1
/
T
0
n
为整数
,
−
∞
<
n
<
∞
C
(
n
f
0
)
表示
C
是
n
f
0
的函数,并简记为
C
n
C_n = C(nf_0) = \frac{1}{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}s(t)e^{-j2\pi nf_0t}\mathrm{d}t \\ f_0 = 1/T_0 \\ n为整数, -\infty<n<\infty \\ C(nf_0)表示C是nf_0的函数,并简记为C_n
Cn=C(nf0)=T01∫−T0/2T0/2s(t)e−j2πnf0tdtf0=1/T0n为整数,−∞<n<∞C(nf0)表示C是nf0的函数,并简记为Cn
傅立叶级数可以把
s
(
t
)
s(t)
s(t)展开。
s
(
t
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
C
n
e
j
2
π
n
t
/
T
0
s(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_ne^{j2\pi nt/T_0}
s(t)=n=−∞∑∞Cnej2πnt/T0
展开需要满足傅立叶级数的狄利克雷条件,一般信号是可以满足的。
当
n
=
0
n=0
n=0的时候,是
s
(
t
)
s(t)
s(t)的直流分量。
C
0
=
1
T
0
∫
−
T
0
/
2
T
0
/
2
s
(
t
)
d
t
C_{0}=\frac{1}{T_{0}} \int_{-T_{0} / 2}^{T_{0} / 2} s(t) \mathrm{d} t
C0=T01∫−T0/2T0/2s(t)dt
频谱函数
C
n
C_n
Cn是一个复数。
C
n
=
∣
C
n
∣
e
j
θ
n
C_{n}=\left|C_{n}\right| \mathrm{e}^{\mathrm{j} \theta_{n}}
Cn=∣Cn∣ejθn
对于周期性功率信号来说,频谱函数
C
n
C_n
Cn是离散的。
重要性质。
C
−
n
=
1
T
0
∫
−
T
0
/
2
T
0
/
2
s
(
t
)
e
+
j
2
π
n
f
0
t
d
t
=
[
1
T
0
∫
−
T
0
/
2
T
0
/
2
s
(
t
)
e
−
j
2
π
n
f
0
t
d
t
]
∗
=
C
n
∗
C_{-n}=\frac{1}{T_{0}} \int_{-T_{0} / 2}^{T_{0} / 2} s(t) \mathrm{e}^{+\mathrm{j} 2 \pi n f_{0} t} \mathrm{~d} t=\left[\frac{1}{T_{0}} \int_{-T_{0} / 2}^{T_{0} / 2} s(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi n f_{0} t} \mathrm{~d} t\right]^{*}=C_{n}^{*}
C−n=T01∫−T0/2T0/2s(t)e+j2πnf0t dt=[T01∫−T0/2T0/2s(t)e−j2πnf0t dt]∗=Cn∗
傅立叶级数也可以展开成三角形式。
s
(
t
)
=
C
0
+
∑
n
=
1
∞
[
a
n
cos
(
2
π
n
t
/
T
0
)
+
b
n
sin
(
2
π
n
t
/
T
0
)
]
=
C
0
+
∑
n
=
1
∞
[
a
n
2
+
b
n
2
cos
(
2
π
n
t
/
T
0
+
θ
n
)
]
其中
θ
n
=
−
arctan
(
b
n
/
a
n
)
\begin{array}{l} \begin{aligned} s(t) & =C_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_{n} \cos \left(2 \pi n t / T_{0}\right)+b_{n} \sin \left(2 \pi n t / T_{0}\right)\right] \\ & =C_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}} \cos \left(2 \pi n t / T_{0}+\theta_{n}\right)\right] \end{aligned}\\ 其中 \quad \theta_{n}=-\arctan \left(b_{n} / a_{n}\right) \end{array}
s(t)=C0+n=1∑∞[ancos(2πnt/T0)+bnsin(2πnt/T0)]=C0+n=1∑∞[an2+bn2cos(2πnt/T0+θn)]其中θn=−arctan(bn/an)
2.2 周期性方波的频谱
C
n
=
1
T
∫
−
τ
/
2
τ
/
2
V
e
−
j
2
π
n
f
0
t
d
t
=
1
T
[
−
V
j
2
π
n
f
0
e
−
j
2
π
n
f
0
t
]
−
τ
/
2
τ
/
2
=
V
T
e
j
2
π
n
f
0
τ
/
2
−
e
−
j
2
π
n
f
0
τ
/
2
j
2
π
n
f
0
=
V
π
n
f
0
T
sin
π
n
f
0
τ
=
V
τ
T
S
a
(
n
π
τ
T
)
\begin{aligned} C_{n} & =\frac{1}{T} \int_{-\tau / 2}^{\tau / 2} V \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi n f_{0} t} \mathrm{~d} t=\frac{1}{T}\left[-\frac{V}{\mathrm{j} 2 \pi n f_{0}} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi n f_{0} t}\right]_{-\tau / 2}^{\tau / 2} \\ & =\frac{V}{T} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{j} 2 \pi n f_{0} \tau / 2}-\mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi n f_{0} \tau / 2}}{\mathrm{j} 2 \pi n f_{0}}=\frac{V}{\pi n f_{0} T} \sin \pi n f_{0} \tau= \frac{V \tau}{T} \mathrm{Sa}\left(\frac{n \pi \tau}{T}\right) \end{aligned}
Cn=T1∫−τ/2τ/2Ve−j2πnf0t dt=T1[−j2πnf0Ve−j2πnf0t]−τ/2τ/2=TVj2πnf0ej2πnf0τ/2−e−j2πnf0τ/2=πnf0TVsinπnf0τ=TVτSa(Tnπτ)
记住答案,很重要。
C
n
=
V
τ
T
S
a
(
n
π
τ
T
)
C_n = \frac{V \tau}{T} \mathrm{Sa}\left(\frac{n \pi \tau}{T}\right)
Cn=TVτSa(Tnπτ)
2.3 能量信号的频谱密度
注意叫法,功率信号的傅里叶系数 C n C_n Cn是叫做功率信号的频谱。
而,能量信号的傅里叶变换结果
S
(
f
)
S(f)
S(f)叫做频谱密度。
S
(
f
)
=
∫
−
∞
∞
s
(
t
)
e
−
j
2
π
f
t
d
t
S(f)=\int_{-\infty}^{\infty} s(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi f t} \mathrm{~d} t
S(f)=∫−∞∞s(t)e−j2πft dt
S
(
f
)
S(f)
S(f)的逆傅立叶变换就是原信号。
s
(
t
)
=
∫
−
∞
∞
S
(
f
)
e
j
2
π
f
t
d
f
s(t)=\int_{-\infty}^{\infty} S(f) \mathrm{e}^{\mathrm{j} 2 \pi f t} \mathrm{~d} f
s(t)=∫−∞∞S(f)ej2πft df
实能量信号的频谱密度和实功率信号的频谱有一个共同的特征,即负频谱和正频谱的模偶对称,相位奇对称。
∫
−
∞
∞
s
(
t
)
e
−
j
2
π
f
t
d
t
=
[
∫
−
∞
∞
s
(
t
)
e
+
j
2
π
f
t
d
t
]
∗
S
(
f
)
=
[
S
(
−
f
)
]
∗
\int_{-\infty}^{\infty} s(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi f t} \mathrm{~d} t=\left[\int_{-\infty}^{\infty} s(t) \mathrm{e}^{+\mathrm{j} 2 \pi f t} \mathrm{~d} t\right]^{*} \\ S(f)=[S(-f)]^{*}
∫−∞∞s(t)e−j2πft dt=[∫−∞∞s(t)e+j2πft dt]∗S(f)=[S(−f)]∗
2.4 矩形脉冲的频谱密度
矩形脉冲的表达式为。
g
τ
(
t
)
=
{
1
∣
t
∣
⩽
τ
/
2
0
∣
t
∣
>
τ
/
2
g_{\tau}(t)=\left\{\begin{array}{ll} 1 & |t| \leqslant \tau / 2 \\ 0 & |t|>\tau / 2 \end{array}\right.
gτ(t)={10∣t∣⩽τ/2∣t∣>τ/2
傅立叶变换结果为。
G
τ
(
f
)
=
τ
S
a
(
π
f
τ
)
G_\tau(f) = \tau \mathrm{Sa}(\pi f \tau)
Gτ(f)=τSa(πfτ)
很重要,要记住。
2.5 常用的傅里叶变换
f ( t ) F ( w ) f ( t ) F ( w ) δ ( t ) 1 r e c t ( t / τ ) τ S a ( w τ / 2 ) 1 2 π δ ( w ) W 2 π S a ( W t 2 ) r e c t ( w W ) e j w 0 t 2 π δ ( w − w 0 ) c o s ( w 0 t ) π [ δ ( w − w 0 ) + δ ( w + w 0 ) ] s g n ( t ) 2 j w s i n ( w 0 t ) π j [ δ ( w − w 0 ) − δ ( w + w 0 ) ] j 1 π t s g n ( w ) e − α ∣ t ∣ 2 α α 2 + w 2 u ( t ) π δ ( w ) + 1 j w u ( t ) e − α t 1 α + j ω δ T ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ δ ( t − n T ) 2 π T ∑ n = − ∞ ∞ δ ( ω − n ⋅ 2 π T ) u ( t ) t e − α t 1 ( α + j ω ) 2 \begin{array}{cc|cc} \hline f(t) & F(w) & f(t) & F(w) \\ \hline \delta(t) & 1 & rect(t/\tau) & \tau Sa(w\tau/2) \\ 1 & 2\pi\delta(w) & \frac{W}{2\pi}Sa(\frac{Wt}{2}) & rect(\frac{w}{W}) \\ e^{jw_0t} & 2\pi\delta (w-w_0) & cos(w_0t) & \pi[\delta(w-w_0)+\delta(w+w_0)] \\ sgn(t) & \frac{2}{jw} & sin(w_0t) & \frac{\pi}{j}[\delta(w-w_0)-\delta(w+w_0)] \\ j\frac{1}{\pi t} & sgn(w) & e^{-\alpha |t| } & \frac{2\alpha}{\alpha ^2+w^2} \\ u(t) & \pi\delta(w)+\frac{1}{jw} & u(t) \mathrm{e}^{-\alpha t} & \frac{1}{\alpha+\mathrm{j} \omega}\\ \delta_{T}(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t-n T) & \frac{2 \pi}{T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta\left(\omega-n \cdot \frac{2 \pi}{T}\right) & u(t) t \mathrm{e}^{-\alpha t} & \frac{1}{(\alpha+\mathrm{j} \omega)^{2}} \\ \hline \end{array} f(t)δ(t)1ejw0tsgn(t)jπt1u(t)δT(t)=∑n=−∞∞δ(t−nT)F(w)12πδ(w)2πδ(w−w0)jw2sgn(w)πδ(w)+jw1T2π∑n=−∞∞δ(ω−n⋅T2π)f(t)rect(t/τ)2πWSa(2Wt)cos(w0t)sin(w0t)e−α∣t∣u(t)e−αtu(t)te−αtF(w)τSa(wτ/2)rect(Ww)π[δ(w−w0)+δ(w+w0)]jπ[δ(w−w0)−δ(w+w0)]α2+w22αα+jω1(α+jω)21
2.6 能量信号的能量谱密度
能量E。
E
=
∫
−
∞
∞
s
2
(
t
)
d
t
E=\int_{-\infty}^{\infty} s^{2}(t) \mathrm{d} t
E=∫−∞∞s2(t)dt
巴塞伐尔定理。
E
=
∫
−
∞
∞
s
2
(
t
)
d
t
=
∫
−
∞
∞
∣
S
(
f
)
∣
2
d
f
E=\int_{-\infty}^{\infty} s^{2}(t) \mathrm{d} t=\int_{-\infty}^{\infty}|S(f)|^{2} \mathrm{~d} f
E=∫−∞∞s2(t)dt=∫−∞∞∣S(f)∣2 df
能量谱密度。
G
(
f
)
=
∣
S
(
f
)
∣
2
(
J
/
H
z
)
G(f)=|S(f)|^{2} \quad(\mathrm{~J}/\mathrm{Hz})
G(f)=∣S(f)∣2( J/Hz)
由于信号
s
(
t
)
s(t)
s(t)是实函数,所以
∣
S
(
f
)
∣
|S(f)|
∣S(f)∣是一个偶函数。
2.7 功率信号的功率谱密度
巴塞伐尔定理。
E
=
∫
−
T
/
2
T
/
2
s
T
2
(
t
)
d
t
=
∫
−
∞
∞
∣
S
T
(
f
)
∣
2
d
f
E=\int_{-T / 2}^{T / 2} s_{T}^{2}(t) \mathrm{d} t=\int_{-\infty}^{\infty}\left|S_{T}(f)\right|^{2} \mathrm{~d} f
E=∫−T/2T/2sT2(t)dt=∫−∞∞∣ST(f)∣2 df
功率谱密度。
P
(
f
)
=
lim
T
→
∞
1
T
∣
S
T
(
f
)
∣
2
P(f) = \lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T}|S_{T}(f)|^{2}
P(f)=T→∞limT1∣ST(f)∣2
功率用功率谱密度表示。
P
=
lim
T
→
∞
1
T
∫
−
∞
∞
∣
S
T
(
f
)
∣
2
d
f
=
∫
−
∞
∞
P
(
f
)
d
f
P=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{-\infty}^{\infty}\left|S_{T}(f)\right|^{2} \mathrm{~d} f=\int_{-\infty}^{\infty} P(f) \mathrm{d} f
P=T→∞limT1∫−∞∞∣ST(f)∣2 df=∫−∞∞P(f)df
3. 确知信号的时域性质
确知信号再时域中的性质主要有自相关函数和互相关函数。
3.1 能量信号的自相关函数
R ( τ ) = ∫ − ∞ ∞ s ( t ) s ( t + τ ) d t − ∞ < τ < ∞ R(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty} s(t) s(t+\tau) \mathrm{d} t \quad-\infty<\tau<\infty R(τ)=∫−∞∞s(t)s(t+τ)dt−∞<τ<∞
自相关函数反映了一个信号延迟 τ \tau τ后的同一信号间的相关程度。自相关函数 R ( τ ) R(\tau) R(τ)和时间t无关,只和时间差 τ \tau τ有关。
当
τ
=
0
\tau=0
τ=0的时候,能量信号的自相关函数
R
(
0
)
R(0)
R(0)等于信号的能量。
R
(
0
)
=
E
前提是能量信号
R(0) = E \quad 前提是能量信号
R(0)=E前提是能量信号
此外,
R
(
τ
)
R(\tau)
R(τ)是偶函数。
自相关函数和能量谱密度的关系。
能量谱密度的逆傅立叶变换就是能量信号的自相关函数。
R
(
τ
)
=
∫
−
∞
∞
∣
S
(
f
)
∣
2
e
j
2
π
f
τ
d
f
R(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}|S(f)|^{2} \mathrm{e}^{\mathrm{j} 2 \pi f \tau} \mathrm{d} f
R(τ)=∫−∞∞∣S(f)∣2ej2πfτdf
R
(
τ
)
R(\tau)
R(τ)和
∣
S
(
f
)
∣
2
|S(f)|^2
∣S(f)∣2构成一对傅立叶变换。
3.2 功率信号的自相关函数
功率信号自相关函数的定义。
R
(
τ
)
=
lim
T
→
∞
1
T
∫
−
T
/
2
T
/
2
s
(
t
)
s
(
t
+
τ
)
d
t
−
∞
<
τ
<
∞
R(\tau)=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{-T / 2}^{T / 2} s(t) s(t+\tau) \mathrm{d} t \quad-\infty<\tau<\infty
R(τ)=T→∞limT1∫−T/2T/2s(t)s(t+τ)dt−∞<τ<∞
由定义可以看出,
τ
=
0
\tau=0
τ=0的时候,功率信号的自相关函数
R
(
0
)
R(0)
R(0)等于信号的平均功率。
R
(
0
)
=
lim
T
→
∞
1
T
∫
−
T
/
2
T
/
2
s
2
(
t
)
d
t
=
P
R(0)=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{-T / 2}^{T / 2} s^{2}(t) \mathrm{d} t=P
R(0)=T→∞limT1∫−T/2T/2s2(t)dt=P
功率信号的自相关函数也是偶函数。
对于周期性的功率信号,自相关函数的定义可以改写为。
R
(
τ
)
=
1
T
0
∫
−
T
0
/
2
T
0
/
2
s
(
t
)
s
(
t
+
τ
)
d
t
−
∞
<
τ
<
∞
R(\tau)=\frac{1}{T_{0}} \int_{-T_{0} / 2}^{T_{0} / 2} s(t) s(t+\tau) \mathrm{d} t \quad-\infty<\tau<\infty
R(τ)=T01∫−T0/2T0/2s(t)s(t+τ)dt−∞<τ<∞
功率信号的自相关函数的傅立叶变换就是功率谱密度。
P
(
f
)
=
∫
−
∞
∞
R
(
τ
)
e
−
j
2
π
f
τ
d
τ
P(f)=\int_{-\infty}^{\infty} R(\tau) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi f \tau} \mathrm{d} \tau
P(f)=∫−∞∞R(τ)e−j2πfτdτ
3.3 能量信号的互相关函数
两个能量信号
s
1
(
t
)
s_1(t)
s1(t)和
s
2
(
t
)
s_2(t)
s2(t)的互相关函数定义如下。
R
12
(
τ
)
=
∫
−
∞
∞
s
1
(
t
)
s
2
(
t
+
τ
)
d
t
−
∞
<
τ
<
∞
R_{12}(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty} s_{1}(t) s_{2}(t+\tau) \mathrm{d} t \quad-\infty<\tau<\infty
R12(τ)=∫−∞∞s1(t)s2(t+τ)dt−∞<τ<∞
顺序很重要。
R
21
(
τ
)
=
R
12
(
−
τ
)
R_{21}(\tau) = R_{12}(-\tau)
R21(τ)=R12(−τ)
互相关函数和能量谱密度的关系。
互能量谱密度定义。
S
12
(
f
)
=
S
1
∗
(
f
)
S
2
(
f
)
S_{12}(f)=S_{1}^{*}(f) S_{2}(f)
S12(f)=S1∗(f)S2(f)
所以互相关函数和互能量谱密度也是一对傅立叶变换。
S
12
(
f
)
=
∫
−
∞
∞
R
12
(
τ
)
e
−
j
2
π
/
τ
d
τ
S_{12}(f)=\int_{-\infty}^{\infty} R_{12}(\tau) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi / \tau} \mathrm{d} \tau
S12(f)=∫−∞∞R12(τ)e−j2π/τdτ
3.4 功率信号的互相关函数
两个功率信号的互相关函数定义为。
R
12
(
τ
)
=
lim
T
→
∞
1
T
∫
−
T
/
2
T
/
2
s
1
(
t
)
s
2
(
t
+
τ
)
d
t
R_{12}(\tau)=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{-T / 2}^{T / 2} s_{1}(t) s_{2}(t+\tau) \mathrm{d} t
R12(τ)=T→∞limT1∫−T/2T/2s1(t)s2(t+τ)dt
如果两个功率信号的周期相同,则其互相关函数的定义可以写成。
R
12
(
τ
)
=
1
T
∫
−
T
/
2
T
/
2
s
1
(
t
)
s
2
(
t
+
τ
)
d
t
−
∞
<
τ
<
∞
R_{12}(\tau)=\frac{1}{T} \int_{-T / 2}^{T / 2} s_{1}(t) s_{2}(t+\tau) \mathrm{d} t \quad-\infty<\tau<\infty
R12(τ)=T1∫−T/2T/2s1(t)s2(t+τ)dt−∞<τ<∞
互功率谱定义。
C
12
=
(
C
n
)
1
∗
(
C
n
)
2
C_{12}=\left(C_{n}\right)_{1}^{*}\left(C_{n}\right)_{2}
C12=(Cn)1∗(Cn)2
周期性功率信号的互功率谱
C
12
C_{12}
C12是其互相关函数
R
12
(
τ
)
R_{12}(\tau)
R12(τ)的傅立叶级数的系数。