bzoj1485--HNOI2009有趣的数列--Catalan数

Description

 我们称一个长度为2n的数列是有趣的，当且仅当该数列满足以下三个条件：

    (1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{a_i}；

    (2)所有的奇数项满足a₁<a₃<…<a_2n-1，所有的偶数项满足a₂<a₄<…<a_2n；

    (3)任意相邻的两项a_2i-1与a_2i(1≤i≤n)满足奇数项小于偶数项，即：a_2i-1<a_2i。

    现在的任务是：对于给定的n，请求出有多少个不同的长度为2n的有趣的数列。因为最后的答案可能很大，所以只要求输出答案 mod P的值。

 

Input

输入文件只包含用空格隔开的两个整数n和P。输入数据保证，50%的数据满足n≤1000，100%的数据满足n≤1000000且P≤1000000000。

 

Output

仅含一个整数，表示不同的长度为2n的有趣的数列个数mod P的值。

 

Sample Input

3 10

Sample Output

5

对应的5个有趣的数列分别为（1,2,3,4,5,6），（1,2,3,5,4,6），（1,3,2,4,5,6），（1,3,2,5,4,6），（1,4,2,5,3,6）。

 

题解：

　　打表可以看出来，这题的结果是求卡特兰数第n项……

　　当然也可以有实际意义，其中奇数项为入栈，偶数项为出栈，用1~2N这些数放进去，就成了卡特兰数。

　　卡特兰数的公式 

 

 

　　将式子展开以后得到

　　因为数据范围很大，且p不保证是质数。我们考虑用分解质因数的方法来表示h(n)，因为n+2~2n是在分子上，所以指数为正，而1~n在分母上，所以指数为负。

　　对于数字i，当我们要把它的k次方放进结果中时，如果a是i的质因数，就把a的指数和i/a的指数都加k。

　　因为上述过程可以迭代进行，故我们只需要求出数字的最小质因数即可，用线性筛求出。

　　最后用一下快速幂将每个数字与其指数的结果乘到ans中。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;

const int maxn=2000009;//mindiv是最小质因数
int n,p,mindiv[maxn],pri[maxn],cnt[maxn],tot=0;
//cnt数组记录指数的值
ll poww(ll x,ll y,ll m)
{//快速幂
    ll ret=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)
            ret=1ll*ret*x%m;
        x=1ll*x*x%m;
        y>>=1;
    }
    return ret;
}

void getpri(int n)
{//线性筛
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!mindiv[i])
            pri[++tot]=mindiv[i]=i;
        for(int j=1,k;j<=tot&&pri[j]<=mindiv[i]&&(k=pri[j]*i)<=n;j++)
        {
            mindiv[k]=pri[j];
            if(i%pri[j]==0)break;
        }
    }
}

void calc(int x,int y)
{//计算指数
    while(x>1)
    {
        cnt[mindiv[x]]+=y;
        x/=mindiv[x];
    }
}
int main()
{
    //freopen("eccentric.in","r",stdin);
    //freopen("eccentric.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&p);
    getpri(2*n);
    for(int i=1;i<=n;i++)calc(i,-1);
    for(int i=n+2;i<=2*n;i++)calc(i,1);
    int ans=1;
    for(int i=2;i<=n*2;i++)
    {
        ans=(ll)ans*poww(i,cnt[i],p)%p;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    //fclose(stdin);
    //fclose(stdout);
    return 0;
}