poj1190--生日蛋糕--经典dfs+数学剪枝

Description

7月17日是Mr.W的生日，ACM-THU为此要制作一个体积为Nπ的M层生日蛋糕，每层都是一个圆柱体。 
设从下往上数第i(1 <= i <= M)层蛋糕是半径为Ri, 高度为Hi的圆柱。当i < M时，要求Ri > Ri+1且Hi > Hi+1。 
由于要在蛋糕上抹奶油，为尽可能节约经费，我们希望蛋糕外表面（最下一层的下底面除外）的面积Q最小。 
令Q = Sπ 
请编程对给出的N和M，找出蛋糕的制作方案（适当的Ri和Hi的值），使S最小。 
（除Q外，以上所有数据皆为正整数） 

Input

有两行，第一行为N（N <= 10000），表示待制作的蛋糕的体积为Nπ；第二行为M(M <= 20)，表示蛋糕的层数为M。

Output

仅一行，是一个正整数S（若无解则S = 0）。

Sample Input

100
2

Sample Output

68

Hint

圆柱公式 
体积V = πR²H 
侧面积A' = 2πRH 
底面积A = πR² 

 

题解：

　　基于题中对于相邻两层蛋糕，下层的形状必须比上层大的要求，我们对于整个dfs过程是自下层到上层搜。

　　首先无论有几层蛋糕，整个蛋糕的俯视图都是一个整圆，而这个圆的面积等于底层蛋糕的底面积。

　　想要得到整个蛋糕的表面积，还需要知道每层蛋糕（圆柱体）的侧面积。侧面积的公式是 S(侧)=2*π*R*H

　　题中对于体积的限制是 V=Nπ

　　表面积则是 S=π*底层半径^2+每一层的侧面积

　　既然π是个常数，且在每个表达式中出现，我们将每个表达式中都除以一个π，这样得到的式子中便没有了π。

　　消去π后，V=N，S=底层半径^2+2*M*∑Ri*Hi（i从1~M）

　　接下来是针对dfs的部分：

　　在dfs前，求出每一层侧面积和体积的最小值，以便接下来的剪枝，前两个是最优性剪枝，第三个是数学剪枝

　　1.如果已经用了的S+新一层最小S>已得到的ans，return

　　2.如果已经用了的V+新一层最小V>N，return

　　3.剩下的体积都用来做新一层的蛋糕，此时得到的新一层S+已经用了的S>ans，return

　　　　这个剪枝可以由一个数学感知来变得显然……

　　　　我们知道在三维空间中，对于同样体积的几个物体，越接近球体的物体的表面积越小。

　　　　当在这道题中我们将剩下的体积全都用来做新的一层时，它的表面积最小。

　　　　此时就变成了一个最优性数学剪枝。

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
int N,M;//由下层往上层搜
int v[30],s[30],ans=2147483647;
void dfs(int m,int used_s,int used_v,int last_r,int last_h)//下一层的半径和高度
{//m当前层数，now_s已经用的面积，now_v已经用的体积
    if(used_v>N)return;
    if(m==0)
    {
        if(used_v==N)
            ans=min(ans,used_s);//更新答案
        return;
    }
    if(used_s+s[m]>ans)return;//表面积剪枝
    if(used_v+v[m]>N)return;//体积剪枝
    if(used_s+2*(N-used_v)/last_r>ans)return;//综合剪枝
    int max_h;
    for(int r=last_r-1;r>=m;r--)
    {
        if(m==M)used_s=r*r;
        max_h=min((N-used_v-v[m-1])/(r*r),last_h-1);
        for(int h=max_h;h>=m;h--)
        {
            dfs(m-1,used_s+2*r*h,used_v+r*r*h,r,h);
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&N,&M);
    for(int i=1;i<=M;i++)
    {
        s[i]=i*i*2;//侧面积
        s[i]+=s[i-1];

        v[i]=i*i*i;//体积
        v[i]+=v[i-1];
    }
    dfs(M,0,0,sqrt(N),N);//底层半径最多为sqrt(N)
    //底层高度最多为N
    if(ans==2147483647)
    {
        cout<<"0"<<endl;
        return 0;
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}