bzoj1190--梦幻岛宝珠--分层dp+01背包

Description

给你N颗宝石，每颗宝石都有重量和价值。要你从这些宝石中选取一些宝石，保证总重量不超过W，且总价值最大为，并输出最大的总价值。数据范围：N<=100;W<=2^30,并且保证每颗宝石的重量符合a*2^b（a<=10;b<=30）

Input

输入文件中包含多组数据。每组数据的格式如下：第一行是两个正整数n和W，1≤n≤100,1≤W≤2^30，分别表示宝石的数目和最多能带走的宝石重量。接下来的n行，每行有两个正整数weighti和valuei，1≤weighti≤2^30, 0≤valuei≤2^30，分别表示第i颗宝石的重量和价值，且保证weighti能写成a*2^b(1≤a≤10,0≤b≤30)的形式。同一行的两个正整数之间用空格隔开。最后一组数据的后面有两个-1，表示文件的结束。这两个-1并不代表一组数据，你不需对这组数据输出结果。并且输入文件中数据的组数不超过20。

Output

对于输入的每组数据，输出一个整数C，表示小P最多能带走的宝石的总价值。每个结果整数C单独占一行，且保证C不会超过2^30。

Sample Input

4 10
8 9
5 8
4 6
2 5
4 13
8 9
5 8
4 6
2 5
16 75594681
393216 5533
2 77
32768 467
29360128 407840
112 68
24576 372
768 60
33554432 466099
16384 318
33554432 466090
2048 111
24576 350
9216 216
12582912 174768
16384 295
1024 76
-1 -1

Sample Output

14
19
1050650

题解：

　　这道题很考验思维量。第一眼看还以为是水题，一看数据范围，噢，好难……

　　首先观察到，题目中给出宝石的重量，都能写成a*2^b的形式，且a和b的范围都很小，由此着手。

　　我们按b分层来做dp，对于b相同的宝石，可以放在同一个组里来做背包dp。用g(i,j)表示选了j*2^j的容量时，所能得到的最大价值（也就是说，此时只能用b==i的物品）。

　　然后进行将所有层合并的操作，f(i,j)表示当前容量已经用了j*2^j+(w&((1<<i)-1))  （此时只能用b<=i的物品）,按照b从小到大来合并（类似前缀和的思想）.

　　过程中当然需要用二进制来进行。转移方程为f(i,j)=max( f(i-1,2*k+(w>>i-1&1))+g(i,j-k) )