【数据结构与算法】进出栈方案数问题

进出栈方案数问题

让n个数字依次进栈，求不同的出栈序列的种类个数。

首先可以对问题进行一个转化，脱去数字本身的特性，单纯将出栈序列的序列看成是由进栈和出栈两种操作来构成的序列，其中我们可以令1代表入栈，0代表出栈。

而当出栈序列是非法的时候，就是在说栈为空时，仍然进行出栈操作，换成01串进行理解，也就是说，在整个01串中，存在某一个位置，且这个位置前面的操作0的个数大于1的个数，即说明这是非法的。

那么，我们要求出所有可行的方案，我们可以换一个角度。

合法方案数 = 总方案数 - 非法方案数

总方案数 = 给你2n个位置，先填入n个1，其他空余位置补上0 = \(C_{2n}^{n}\)

在计算非法方案数，我们可以稍微做一下转换。

（注意这里都是非法的，无论怎么转换的话）假设定在某个位置，这个位置前有p个1，p+1个0, 那么在这个位置后有n-p个1，n-（p+1）个0，在这里，我们可以稍微做一个转换，在这个位置后有n-p个"0"，n-（p+1）个"1"，所以此时2n个位置共有n+1个"0"，n-1个"1"。

所以非法的方案数为\(C_{2n}^{n-1}\)

所以合法的方案数 = \(C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}\)