【组合数学】【恒等式】$\sum_{k=0}^{r}C_m^k \times C_{n}^{r-k}=C_{m+n}^r$

【组合恒等式】\(\sum_{k=0}^{r}C_m^k \times C_{n}^{r-k}=C_{m+n}^r\)

问题模型：

P舞团将从M舞团和N舞团共选拔出r个人来加入到P舞团，求问一共有多少种选法？

思路一：

在M中选x人，那么就在N中选r-x人最终只需对所有情况取个西格玛,即\(\sum_{k=0}^{r}C_m^{k}\times C_n^{r-k}\)，也可以写作\(\sum_{k=0}^r\tbinom{m}{k}\times \tbinom{n}{r-k}\)

思路二：

直接在M、N组成的整体中直接去选取r个人，即\(C_{m+n}^{r}\)，也可以写作\(\tbinom{m+n}{r}\)

由于这两种思路都是正确的，故而由这两个式子算出来的结果是相等的。

此外，需要注意的是在运用这个公式需要注意一下是否满足\(r<=min(m,n)\)这个前提条件。

推论

\(\sum_{k=0}^{r}C_m^{k}\times C_n^{r-k}=C_{m+n}^{r}\)

若将该公式中r替换为n，我们将有

\(\sum_{k=0}^{n}C_m^{k}\times C_n^{n-k}=C_{m+n}^{n}\)

经过化简，我们有

\(\sum_{k=0}^{n}C_m^{k}\times C_n^{k}=C_{m+n}^{m}\)

也可以写作\(\sum_{k=0}^{n}\tbinom{m}{k}\times \tbinom{n}{k} = \tbinom{m+n}{m}\)