【组合数学】【恒等式】$C_{n}^{r}\times C_{n-r}^{k-r}=C_{n}^{k}\times C_k^{r}$

【组合数学】【恒等式】\(C_{n}^{r}\times C_{n-r}^{k-r}=C_{n}^{k}\times C_k^{r}\)

假设有这么一个场景，有n个人参加了一次抽奖活动，其中有k个人获奖，而在这k个人之中又有r个人获得了一等奖，假设每个人中奖的概率是均匀的，求问一共会出现多少种不同的中奖的情况？

思路一：

第一步先从n个人中挑出k个人作为中奖者，然后再继续从k个人之中挑出r个人作为获得一等奖的人选，于是有\(C_n^k\times C_k^r\)。

思路二：

不同于思路一，我们可以先从n个人直接先挑出r个人作为我们一等奖的人选，再从剩余的n-r个人中挑出k-r个人作为其他获奖的人选。

由于这两种思路都是用于计算同一个问题，所以通过这两种方法算出的答案应是相同的。