gcd的推论，多个数的gcd的转化

gcd的推论，多个数的gcd的转化

\(gcd(a,b,c,d)=gcd(a,a-b,b-c,c-d)\)

证明如下：

1. 先证\(gcd(a,b,c,d)<=gcd(a,a-b,b-c,c-d)\)

   设\(k=gcd(a,b,c,d)\)

   若\(k|a,k|b\),则有\(k|a-b\)

   同理可得\(k|b-c\),\(k|c-d\)

   所以k是a,a-b,b-c,c-d这四个数的公共因子，但不一定是最大的

2. 再证\(gcd(a,b,c,d)>=gcd(a,a-b,b-c,c-d)\)

   设\(k=gcd(a,a-b,b-c,c-d)\)

   若\(k|a,k|a-b\),则有\(k|a-(a-b)\)

   所以有k|b

   同理可得\(k|c\),\(k|d\)

   所以k是a,b,c,d这四个数的公共因子，但不一定是最大的

3. 因为这两者关系同时存在，故而只有一种可能

   \(gcd(a,b,c,d)=gcd(a,a-b,b-c,c-d)\)

   得证

其他

• 该推论的应用，该推论将原本的数字转成了差分形式，因而可以结合差分的性质一起使用。
• 由于gcd函数的设置可以让某个数和0gcd，从而返回自身
• long long gcd(long long a,long long b) { return b?gcd(b,a%b):a; }