【离散数学】定理2.8 $C_1\wedge C_2\approx Res(C_1,C_2)$

目录

• 定理2.8 \(C_1\wedge C_2\approx Res(C_1,C_2)\)
  • 前置
    • Res运算
    • 可满足性
  • 定理2.8 \(C_1\wedge C_2\approx Res(C_1,C_2)\)
    • 若 \(C_1\wedge C_2\)可满足
    • 若\(Res(C_1,C_2)\)可满足

定理2.8 \(C_1\wedge C_2\approx Res(C_1,C_2)\)

前置

Res运算

\(Res(C_1,C_2)\)运算大体上可以看成是对\(C_1\)和\(C_2\)进行析取操作，更进一步在析取的过程中，若\(C_1\)内所含的部分有机会能够与\(C_2\) 中的某一部分析取为1的话，那么称这两部分为消解文字（这两部分在计算的结果中被消解掉，并不会保留到最终的结果中去）

可满足性

一个命题具有可满足性是指在所有赋值的可能情况中下至少具有一组成真赋值。

称两个命题具有相同的可满足性，要么这两个命题都可满足，要么这两个命题都不可满足，即永假。

定理2.8 \(C_1\wedge C_2\approx Res(C_1,C_2)\)

\(C_1\wedge C_2\)和\(Res(C_1,C_2)\)具有相同的可满足性。

有令\(C_1=l\vee C_1^\prime\)和\(C_2=l^{c}\vee C_2^\prime\)

且\(Res(C_1,C_2)=C_1^\prime\vee C_2^\prime\)

若 \(C_1\wedge C_2\)可满足

且\(\alpha\)是满足它的一组解，不妨设这组解中\(l\)的赋值为1，那么\(C_1\)为真，只需要确保\(C_2\)为真就行。

而\(C_2\)包含\(l^c\)，\(l^c\)是\(l\)的对立面，取值为0，故而\(C_2^\prime\)的取值必然为真，才能确保在\(\alpha\)这组解中\(C_1\wedge C_2\)可满足。

而当\(C_2^\prime\)的取值为真时，故而\(Res(C_1,C_2)\)可满足

若\(Res(C_1,C_2)\)可满足

若\(C_1^\prime\)为真，则\(C_1\)为真，这个时候只要\(C_2\)为真那么就证明完毕了，但当\(l^{c}\)和$ C_2^{\prime$同时为假时，$C_2$为真，因而要使得$l}c$为真

由于对称性，反之亦然

因而有任何满足\(C_1\wedge C_2\)的赋值都能够满足\(Res(C_1,C_2)\)，而满足\(Res(C_1,C_2)\)并不一定能够满足\(C_1\wedge C_2\)。