【数据结构】【植树计划】哈夫曼树Huffman Tree[CF】D. Boxes And Balls

目录

• 【数据结构】【植树计划】哈夫曼树Huffman Tree[CF]D. Boxes And Balls
  • 前置知识：
    • 二叉树叶子结点与度为2的节点关系
  • 定义：
    • WPL
      • WPL的计算
  • 哈夫曼树
    • 哈夫曼树的定义
    • 哈夫曼树的原则
    • 哈夫曼树的构造流程
    • 哈夫曼树的叶结点个数\(n_{0}\)和结点数\(S\)的关系
    • 哈夫曼编码
  • k叉哈夫曼树

【数据结构】【植树计划】哈夫曼树Huffman Tree[CF]D. Boxes And Balls

前置知识：

二叉树叶子结点与度为2的节点关系

在二叉树中，一个结点最多拥有两个儿子结点，因而结点的类型可以分为拥有0个儿子结点的结点\(n_0\)，拥有1个儿子结点的结点\(n_1\)和拥有2个儿子结点的结点\(n_2\),记总结点个数为S

\[结点数=拥有0个儿子结点的结点+拥有1个儿子结点的结点+拥有2个儿子结点的结点 \]

\[S=n_{0}+n_{1}+n_{2} \]

注意：显然，根结点不是任何结点的子结点

所以有，总儿子结点个数=总结点数-1，记为\(S_{0}=S-1\)

换种角度出发，从儿子结点个数是如何产生的角度来看，有

\(S-1=S_{0}=0\times n_{0}+1\times n_{1}+2\times n_{2}=n_{1}+2n_{2}\)

即有

\(S=n_{1}+2n_{2}+1\)

\(n_{0}=n_{2}+1\)

而一个结点没有儿子结点，就是说这个结点的度为0，也就是所谓的儿子结点。

所以在一颗二叉树中，叶子结点的个数等于入度为2的结点的个数再加上1.

定义：

WPL

设二叉树具有n个带权值的叶结点，那么从根节点到各个叶节点的路径长度与相应结点权值的乘积的和，叫做二叉树的带权路径长度WPL(Weighted Path Length)

\[WPL=\sum_{i=1}^{n}w_{i}l_{i} \]

• WPL相当于所有的点的点权乘上层数的和

WPL的计算

\[WPL(Tree_{1})=7\times2+5\times 2+2\times3+4\times 3+2\times 9=(7+5+9)\times 2+(2+4)\times 3=60 \]

\[WPL(Tree_{2})=(7+9)\times4+5\times 3 + 4\times 2+2\times 1=89 \]

\[WPL(Tree_{2})>WPL(Tree_{1}) \]

经观察可得要使得WPL的大小越小有两种方法，一是压缩路径（减少层数），二是把越大的数越安排到层数比较小的位置。

而总有一种安排方法会使得WPL值达到最小，而这个时候形成的图形，而就是所谓的哈夫曼树

哈夫曼树

哈夫曼树的定义

• 哈夫曼树：拥有最小带权路径长度的二叉树称为哈夫曼树（也称作最优树）

哈夫曼树的原则

• 权值越大的结点越靠近根结点
• 权值越小的结点越远离根结点

换种角度来看，可以将结点离根结点的距离理解成是结点所处在层数。

哈夫曼树的构造流程

给定一些数，将其从小到大进行排序，得到序列\(a_{1},a_{2},....,a_{n}\)

Step1:取出点权最小的两个的结点\(a_{1},a_{2}\),将\(a_{1},a_{2}\)进行合并，这个时候会生成一个点权等于这两点的点权和的点，记为\(b_{1}\)。

Step2:向取出了两个个元素的序列中加入\(b_{1}\)，并进行排序（这里涉及到时间复杂度的问题，优先队列的单次排序是log级别的）

Step3:重复Step1和Step2的操作，直至序列中只剩下一个元素。

哈夫曼树的叶结点个数\(n_{0}\)和结点数\(S\)的关系

注意：根据哈夫曼树的构造流程，我们可以明显发现，哈夫曼树中并不存在子结点个数为1的结点。

所以有，\(S=n_{0}+n_{2}\)

且在前置知识的帮助下，我们有这样的普适的结论\(n_{0}=n_{2}+1\)

于是，我们有\(S=2n_{0}-1\)

哈夫曼编码

k叉哈夫曼树

与一般的哈夫曼树不同的是k叉哈夫曼树的构造流程是k叉哈夫曼树每次提取的是前k个小的数字来进行合并。

D. Boxes And Balls

哈夫曼树的叶结点个数\(n_{0}\)和结点数\(S\)的关系,戳我

\[S-1=k\times n_{k} \]

\[S=n_0+n_{k} \]

\(n_0=(k-1)\times n_{k}\Rightarrow (k-1)|n_0\),若叶子个点个数有机会被k-1整除的话，这可以搭建出k叉哈夫曼树。

题目的k存在两种取值的k，一种为2（k-1=1所以,不用取考虑2这种情况），而另一种k的取值为3（需单独考虑叶子结点个数能否会被2整除掉，若可以，非常好，若不可以，再向条件中补一个0，凑成偶数）。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define MEM(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#define W(a) while(a)
#define gcd(a,b) __gcd(a,b)
#define pi acos(-1.0)
#define PII pair<int,int>
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define rep(i,x,n) for(int i=x;i<n;i++)
#define repd(i,x,n) for(int i=x;i<=n;i++)
#define MAX 1000005
#define MOD 1000000007
#define INF 0x3f3f3f3f
#define lowbit(x) (x&-x)
using namespace std;
int n,m;
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	ll ans=0,x;
	priority_queue<ll,vector<ll>,greater<ll> > pq;
	repd(i,1,n)
	{
		scanf("%lld",&x);
		pq.push(x);
	} 
	if(n%2==0)pq.push(0);
	while(pq.size()>1)
	{
		x=pq.top();pq.pop();
		x+=pq.top();pq.pop();
		x+=pq.top();pq.pop();
		pq.push(x);
		ans+=x;
	}
	printf("%lld",ans);
    return 0;
}