【数论】费马小定理Fermat’s Little Theorem
费马小定理Fermat’s Little Theorem
引入
剩余类
指定一个数p，将指定的这个数对所有数字进行取余操作，并根据取余的结果对这些数进行分类，有0,1,2,3,...,p-1共p类。
- 子概念：完全剩余系，又称完系，其中包含的取余的结果都是两两互异的，不纯在相同的数字。
同余
同余的定义，两个数若在相同的模下，取余出的结果时一样的，则称这两个数同余。
同余的基本性质
若有
则有
-
\[a\pm c\equiv b\pm d(mod\space p) \]
-
\[a\times c\equiv b\times d(mod\space p) \]
-
\[a^{n}\equiv b^n(mod\space p) \]
证明：将各个数字拆成km+b的形式代入，其中3可以看成是2的推论。
费马小定理Fermat’s Little Theorem
内容：
对于任意存在的整数a和p，有gcd(a,p)=1,且p为质数，则有\(a^{p-1}\%p=1\)
例如：当a=2，p=5时，2的4次方为16，让它再对5取余的话，就剩下了1
说人话：如果一个数与一个质数的最大公约数为1的话（互质关系），那么这个数的这个质数的减一的结果的次方对这个质数取余的结果为1。
证明
有关于p的剩余系\(\{1,2,3,4,......,p-1\}\)，将其命名为剩余系1，将剩余系1中的每一个元素乘上a，可得\(\{1\times a,2\times a,3\times a,4\times a,......,(p-1)\times a\}\)将其命名为剩余系2
且剩余系2为完系（完全剩余系），即集合内不存在相同的数字。
反证法：若剩余系2中存在i，j且$$0\le i,j\le p-1$$使得$$i\times a\equiv j\times a(mod\space p)\iff p|(i-j)\times a$$,又因为i和j的范围和i-j的关系，i-j无法凑出一个数来当p的倍数，且a和p是互质的，所以p是无法将这两个数的乘积给整除，故产生矛盾，所以剩余系2是完系。
由于剩余系1和剩余系2都是关于p的完系，所以根据同余的基本性质的第三条\(a\times c\equiv b\times d(mod\space p)\)，我们可以得出剩余系1内部所有元素的乘积和剩余系2内部所有元素的乘积同余，即\((p-1)!\times 1\equiv(p-1)!\times a^{p-1}(mod\space p)\),又因为p-1的阶乘和p是互质的（😔p-1的阶乘将p的互质的数全部拉拢到了一块）（如果不互质的话，\(a^{p-1}\)相当于是乘上p的倍数，a的取值如何，都无法改变其取余后的结果为0），所以为了保持还是同余的关系，\(a^{p-1}\)还要在p-1的阶乘上再努力一把来完成这个使命，所以\(a^{p-1}\equiv 1(mod\space p)\),证毕。
其他
latex
-
等价于$$\iff$$
$$\iff$$ -
加减符号$$\pm$$
$$\pm$$ -
小于等于号$$\le$$le=less or equal
$$\le$$
