【数学】平方和公式$$\sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
平方和公式的推导
引理1
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\[C_{m}^{n}=C_{m-1}^{n}+C_{m-1}^{n-1} \]
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世俗理解：
从m个物品挑选出n个物品，在面临第n个物品的抉择时，有选与不选的两种操作，如果这个时候选了，其余的n-1个物品就在m-1中个物品中选；如果这个时候还是不选，n个物品就得在m-1个物品中进行选择
引理1推论
\[C_{m}^{n}=C_{m-1}^{n-1}+C_{m-2}^{n-1}+C_{m-3}^{n-1}+...+C_{n-1}^{n-1}=\sum_{i=n-1}^{m-1}C_{i}^{n-1}
\]
\[\left\{ \begin{array}{l} C_{m}^{n}=C_{m-1}^{n}+C_{m-1}^{n-1} \\ C_{m-1}^{n}=C_{m-2}^{n}+C_{m-2}^{n-1} \end{array} \right.
\]
可将二式子代入一式子可得
\[C_{m}^{n}=C_{m-1}^{n-1}+C_{m-2}^{n-1}+C_{m-2}^{n}
\]
通过一层层得代入到最后会得到（注意将会有$$C_{n-1}^{n}=0$$的存在，忽略掉就行）
\[C_{m}^{n}=C_{m-1}^{n-1}+C_{m-2}^{n-1}+C_{m-3}^{n-1}+...+C_{n-1}^{n-1}=\sum_{i=n-1}^{m-1}C_{i}^{n-1}
\]
引理1推论世俗理解
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有点动态规划的感觉
我的理解是在n+1中挑三个相当于先确定一个已经在哪，然后在剩余的部分里面继续挑。比如将n份分成a和b份，把要找的数中的一个数先确定在a中，除去确定好的数（n-1）个数就在b中找
你把1到m+1个球进行编号
C(m,2）就是 先选第m+1号 然后其他两个球你从前面1-m号里面选
C(m,2）就是 先选第m号,且不选第m+1号 然后其他两个球你从前面1-（m-1）号里面选
平方和公式推导
\[i^2 = i(i-1)+i=2*C_{i}^{2}+C_{i}^{1}
\]
\[\sum_{i=1}^{n}i^2=\sum_{i=1}^{n}2*C_{i}^{2}+C_{i}^{1}=2*C_{n+1}^{3}+\frac{(1+n)*n}{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\]
其他
latex方程组
\left\{
\begin{array}{l}
x+y=4 \\ x-y=2
\end{array}
\right.
分式
- 前一个槽表示分子，后一个槽表示分母
\frac{}{}
