【图论】拓扑排序

目录

• 拓扑排序
  • 引入
  • 理解
  • 模板题
  • 拓扑排序的应用
    • 判断是否存在环
      • AcWing 1192. 奖金(有差分约束的味道，要max一下)
    • 可达性统计（在DAG图中，统计一个点可以到达的后续结点的个数）
  • 其他

拓扑排序

引入

某街区犯罪率骤然上升，经过探员007的暗地调查，该地存在黑帮组织，调查局打算采取找到黑帮老大并将其监禁的方法，来弱化黑帮势力，但黑帮内部一旦失去老大后，二把手会自动向上补位，现在作为调查局一员的你，请根据一份黑帮内部从属关系的资料，要求把一份监禁顺序名单递交给上级。

理解

一旦黑帮老大被监禁后，二把手的直属上级关系数就要减一（入度减一），直到二把手没有直接上级时（入度为0），二把手晋升为新的黑帮老大。

模板题

AcWing 1191. 家谱树

拓扑排序的应用

判断是否存在环

• 由于环上任意一点的入度都为0，所以在初始化和运算过程中都不存在加入的可能。所以当被操作的点数小于总点数时，图中存在环（而通常在问题的复原中，环代表这矛盾的存在，即题目无解）

AcWing 1192. 奖金(有差分约束的味道，要max一下)

• 关于拓扑的起点可以灵活一点，可以从更改指向关系（相当于把a吃b变成了b被a吃），如把add(a,b)改成add(b,a),vec[a].push_back(b)改成vec[b].push(a).同时记得把indegree[a]=b改成indegree[b]=a;

• #include<bits/stdc++.h>
  using namespace std;
  const int N = 1e4+10;
  int n,m;
  int money[N];
  
  int h[N],e[2*N],ne[2*N],idx=0;
  void add(int a,int b)
  {
  	e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
  }
  
  int in_d[N];
  bool topsort()
  {
  	queue<int > q;
  	for(int i=1;i<=n;i++)
  	{
  		if(in_d[i]==0)
  		{
  			money[i] = 100;		   
  			q.push(i);
  		}
  	}
  	
  	int cnt=0;
  	while(q.size())
  	{
  		int t = q.front();
  		q.pop();
  		cnt++;
  		for(int i=h[t];~i;i=ne[i])
  		{
  			int j = e[i];
  			in_d[j]--;
  			if(in_d[j]==0)
  			{
  				q.push(j);
  				money[j] = max(money[j ] , money[t] + 1);
  			//	cout<<j<<" "<<money[j]<<endl;
  			}
  		}
  	}
  	return cnt==n;
  }
  int main()
  {
  	memset(h,-1,sizeof(h));
  	
  	cin>>n>>m;
  	for(int i=0;i<m;i++)
  	{
  		int a,b;
  		cin>>a>>b;
  		add(b,a);
  		in_d[a]++;
  	}
  	if(!topsort())
  	{
  		cout<<"Poor Xed";
  	}
  	else
  	{
  	   int total=0;
  	   for(int i=1;i<=n;i++)
      	{
  	    	total=total+money[i];
  	    }
  	    cout<<total;
  	}
  	return 0;
  }
  

可达性统计（在DAG图中，统计一个点可以到达的后续结点的个数）

Acwing 164 . 可达性统计
前置知识：bitset

给定一张 N个点 M 条边的有向无环图，分别统计从每个点出发能够到达的点的数量。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 3e4+10;
bitset <N+1> nums[N+1];
vector <int > ans;
vector <int > order;
int n,m;

int h[N],ne[N*2],e[N*2],idx=0;
void add(int a,int b)
{
	e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}


int in_d[N];
void topsort()
{
	queue<int > q;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(in_d[i]==0)q.push(i);
	}
	
	while(q.size())
	{
		int t = q.front();
		q.pop();
		order.push_back(t);
		for(int i = h[t];~i;i=ne[i])
		{
			int j = e[i];
			if(--in_d[j]==0)
			   q.push(j);
		}
	}
}

void process()
{
    for(int i=n-1;i>=0;i--)
	{
		int st = order[i];
	    for(int j = h[st];~j;j=ne[j])
	    {
	    	int k=e[j];
	    	nums[st] = nums[st] | nums[k];
		}
	}	
}

void print()
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
       cout<<nums[i].count()<<endl;
}

int main()
{
	memset(h,-1,sizeof(h));
	memset(in_d,0,sizeof(in_d));
	
	cin>>n>>m;

	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		nums[i].reset();
		nums[i].set(i);
	}
	   
	
	for(int i=0;i<m;i++)
	{
		int aa,bb;
		cin>>aa>>bb;
		add(aa,bb);
		in_d[bb]++;
	} 
	
	topsort();
	process();
	print();
	
	return 0;
}

其他

• 将函数返回类型改为bool
• DAG(Directed Acyclic Graph)
• bitset